Exercícios Resolvidos de Energia do Átomo Hidrogenóide

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Enunciado

A função de onda do elétron no átomo de hidrogênio, no estado 1 s , é dada por

ψ 100 r , θ , ϕ = C e - r a 0

onde a 0 é o raio de Bohr e C é uma constante real.

( a ) Determine a região do espaço em torno do próton onde a energia deste elétron, na descrição da mecânica quântica, é menor do que a energia potencial do elétron, na descrição da mecânica clássica. Apresente a resposta em termos do raio de Bohr a 0 .

( b ) Use a condição de normalização para determinar o valor de C .

( c ) Para este estado, escreva a expressão da distribuição de probabilidade radial (densidade de probabilidade radial). Calcule o valor de r para o qual ela é máxima.

( d ) Calcule o valor numérico da probabilidade de encontrar o elétron a uma distância maior do que a 0 . Utilize as estimativas para potências de e : e = 2.7 , e 2 = 7.4 , e 3 = 20 , e 4 = 55 .

Passo 1

Vamos lá então!

Para não ter confusão vou dedicar cada passo a explicação e resolução de um item. Com isso vamos conseguir resolver essa questão juntos.

Passo 2

Item ( a ) .

Esse item quer a região onde a energia do elétron no átomo de hidrogênio, dada por:

E n = - m e 4 32 ϵ 0 2 ℏ 2 π 2 n 2

Seja menor que a energia potencial sobre o elétron dado por:

V = - e 2 4 π ϵ 0 r

Então ele quer a região que isso aconteça.

- m e 4 32 ϵ 0 2 ℏ 2 π 2 n 2 < - e 2 4 π ϵ 0 r

O que bem dizer é o valor de r para que isso seja verdade.

Passo 3

Vamos considerar n = 1 que é o estado mais fundamental, assim temos:

m e 4 32 ϵ 0 2 ℏ 2 π 2 < e 2 4 π ϵ 0 r

⇒ 1 r > m e 2 8 ϵ 0 ℏ 2 π

r > 8 ϵ 0 ℏ 2 π m e 2

Lembrando que o raio de Bohr é dado por:

a 0 = 4 π ϵ 0 ℏ 2 m e 2

Temos que:

r > 2 a 0

Então na região onde r > 2 a 0 temos a energia do elétron na descrição quântica menor que a energia potencial na descrição clássica.

Passo 4

Item ( b ) .

Esse item quer que encontremos C e ele fala para fazer isso usando a condição de normalização que para coordenadas esféricas é dada por:

∫ 0 ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π ψ r , θ , ϕ 2   r 2 sen ⁡ θ   d r   d θ   d ϕ = 1

Substituindo a função de onda que temos, ficamos com:

∫ 0 ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π C 2 e - 2 r a 0   r 2 sen ⁡ θ   d r   d θ   d ϕ = 1

Como a nossa função de onda não depende de θ e ϕ a integral nessas coordenadas nos da um valor de 4 π , assim temos:

∫ 0 ∞ C 2 e - 2 r a 0   4 π r 2   d r = 1

⇒ C 2 4 π ∫ 0 ∞ e - 2 r a 0   r 2   d r = 1

Passo 5

Do passo anterior temos então que:

C 2 4 π ∫ 0 ∞ e - 2 r a 0   r 2   d r = 1

Resolvendo a integral, temos:

C 2 4 π - a 0 r 2 2 - a 0 2 r 2 - a 0 3 4 e - 2 r a 0 0 ∞ = 1

⇒ C 2 4 π a 0 3 4 = 1

Logo temos que:

C = 1 π a 0 3

Prontinho, encontramos o que ele queria.

Passo 6

Item ( c ) .

Esse item ele quer a densidade de probabilidade radial da função de onda e quer o valor de r que faz essa densidade ser máxima.

Para achar essa densidade, basta usar a definição dela que é:

ρ r = ψ ( r ) 2 r 2

E depois que encontrarmos essa densidade vamos derivá-la em função de r e igular a zero pois assim encontramos o valor de r que faz essa densidade ser máxima.

Então temos que:

ρ r = C e - r a 0 2   r 2

Lembrando que encontramos C = 1 π a 0 3 , temos:

ρ r = 1 π a 0 3 e - 2 r a 0   r 2

Pronto, essa é a densidade de probabilidade para esse caso.

Passo 7

Agora vamos derivar essa densidade em função de r , temos:

ρ ' r = 1 π a 0 3 2 r e - 2 r a 0 - 1 π a 0 3 r 2 2 a 0 e - 2 r a 0  

= 1 π a 0 3 2 r - 2 r 2 a 0 e - 2 r a 0

Agora vamos achar o valor de r para que essa expressão seja igual a zero, temos:

1 π a 0 3 2 r - 2 r 2 a 0 e - 2 r a 0 = 0

⇒ 2 r - 2 r 2 a 0 = 0

⇒ 2 r 2 a 0 = 2 r

Então temos que:

r = a 0

Então esse é o valor que nos dá máximo da densidade de probabilidade.

Passo 8

Item ( d ) .

Esse item quer a probabilidade de encontrarmos o elétron a uma distância maior que a 0 . Podemos encontrar isso usando o fato de que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região do espaço é:

p a < x < b = ∫ a b ∫ 0 π ∫ 0 2 π ψ r , θ , ϕ 2   r 2 sen ⁡ θ   d r   d θ   d ϕ

Substituindo a função de onda que temos, ficamos com:

p a 0 < r = ∫ a 0 ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π 1 π a 0 3 e - 2 r a 0   r 2 sen ⁡ θ   d r   d θ   d ϕ

Como a nossa função de onda não depende de θ e ϕ a integral nessas coordenadas nos da um valor de 4 π , assim temos:

p a 0 < r = ∫ a 0 ∞ 1 π a 0 3 e - 2 r a 0   4 π r 2   d r

= 4 a 0 3 ∫ a 0 ∞ e - 2 r a 0   r 2   d r

Resolvendo a integral, temos:

p a 0 < r = 4 a 0 3 - a 0 r 2 2 - a 0 2 r 2 - a 0 3 4 e - 2 r a 0 a 0 ∞

= 4 a 0 3 a 0 3 2 + a 0 3 2 + a 0 3 4 e - 2 a 0 a 0

= ( 2 + 2 + 1 ) e - 2 a 0 a 0

= 5 e - 2

Logo temos que:

p a 0 < r = 0,675

Prontinho, encontramos o que ele queria.

Resposta

( a )

r > 2 a 0

( b )

C = 1 π a 0 3

( c )

ρ r = 1 π a 0 3 e - 2 r a 0   r 2

r = a 0

( d )

p a 0 < r = 0,675

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