Exercícios Resolvidos de Energia do Átomo Hidrogenóide

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Enunciado

A função de onda normalizada ψ 0 do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio é dada por

ψ 0 r = 1 π a 0 3 e - r / a 0   ,

onde a 0 é o raio de Bohr e r é a distância ao núcleo.

  1. Calcule a probabilidade de encontrarmos o elétron, no estado fundamental, dentro de uma esfera de raio 2 a 0 centrada no núcleo.
  2. Qual é o módulo do momento angular no modelo de Bohr e na mecânica quântica de Schrödinger para o elétron no estado fundamental? Expresse suas respostas em termos de .
  3. Se um átomo de hidrogênio estiver no 3º nível excitado ( n = 4 ), qual é o nível final atingido após a emissão de um fóton com maior comprimento de onda possível? Explique.

Passo 1

Letra a)

A distribuição de probabilidade radial de encontrar o elétron é dada por:

P r = 4 a 0 3 r 2 e - 2 r / a 0

Assim, a probabilidade de encontrarmos o elétron, no estado fundamental, dentro de uma esfera de raio 2 a 0 centrada no núcleo é:

p 2 a 0 = ∫ 0 2 a 0 P r d r = ∫ 0 2 a 0 4 a 0 3 r 2 e - 2 r / a 0 d r

Fazendo a substituição x = r / a 0 , teremos:

x 2 = r 2 a 0 2 ;     d x = d r a 0

p 2 a 0 = 4 ∫ 0 2 x 2 e - 2 x d x

Essa integral pode ser resolvida duas vezes por partes, nos dando:

∫ x 2 e - 2 x d x = - x 2 e - 2 x 2 + ∫ x e - 2 x d x

Fazendo a integral da direita por partes de novo:

∫ x e - 2 x d x = - x e - 2 x 2 + ∫ e - 2 x 2 d x = - 1 2 x e - 2 x + e - 2 x 2

Substituindo:

4 ∫ x 2 e - 2 x d x = - 2 x 2 e - 2 x - 2 x e - 2 x - e - 2 x = - e - 2 x ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Assim, aplicando os limites de integração:

p = - e - 4 2 ∙ 4 + 2 ∙ 2 + 1 + 1 = 1 - 13 e - 4

Passo 2

Letra b)

O módulo do momento angular do elétron hidrogenóide no átomo de Bohr é dado por:

L B o h r = n ℏ

No estado fundamental, n = 1 e temos:

L B o h r = ℏ

O módulo do momento angular do elétron hidrogenóide na mecânica quântica é dada por:

L q u â n t i c a = l l + 1 ∙ ℏ

No estado fundamental, l = 0 e temos:

L q u â n t i c a = 0

Passo 3

Letra c)

A energia do fóton emitido na transição vai ser:

E f ó t o n = E f - E i = - 13,6 ∙ 1 n f 2 - 1 4 2

Onde essa energia é dada em elétrons volt.

Porém:

E f ó t o n = h c λ

E com isso o comprimento de onda desse fóton será:

1 λ = 13,6 h c ∙ 1 4 2 - 1 n f 2

Ou seja, quanto maior o nível final, menor o comprimento de onda do fóton emitido.

n f ↑   ⇒     1 n f 2   ↓     ⇒     1 4 2 - 1 n f 2 ↑     ⇒       1 λ ↑     ⇒     λ ↓  

Como o fóton foi emitido, e não absorvido, sabemos também que n f < 4 .

Logo, o maior n f possível é n f = 3 .

Resposta

Letra a)

p = 1 - 13 e - 4

Letra b)

L B o h r = ℏ

L q u â n t i c a = 0

Letra c)

n f = 3

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