Exercícios Resolvidos de Energia do Átomo Hidrogenóide

PUCRIO, Física 4 - FIS1061, P3 - 2017.2, Questão 4

Equation (a) Seja um átomo de Hidrogênio em seu estado fundamental, Equation Determine qual é a probabilidade de encontrar um elétron em 𝑟 = 0,5 Equation com uma Equation incerteza 𝛥𝑟 = 0,01 Equation . Sua resposta deve ser numérica (além de literal!).

Sugestão: pode-se aproximar Equation se ΔV é uma casca esférica de pequena espessura Δr.

(b) Um átomo de Hidrogênio sofre uma transição e um fóton de λ = 486 nm é emitido. Encontre o nível inicial e final do átomo nessa transição.

(c) Discuta as diferenças e semelhanças nas descrições de Bohr e Schrödinger para o átomo de Hidrogênio.

Passo 1

No primeiro item vale lembrar alguns conceitos vem importantes antes de iniciar qualquer cálculo.

O primeiro conceito que devemos lembrar é que a densidade de probabilidade é dado pelo quadrado da nossa função de onda, ou seja Equation

Outro ponto muito importante e ao que se refere ao volume que deve ser considerado muito pequeno, ou seja, devemos utilizar a recomendação dada no enunciado não simplesmente porque foi dada, mas porque a analise usa como uma das suposições a analise de um volume bem pequeno, é importante deixar isso bem claro pra não perder nenhum pontinho de bobeira na prova.

Por fim devemos lembrar que para o cálculo da probabilidade usamos a fórmula

Equation

Em que

Equation

Equation

Equation

Equation Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

vamos então substituir todos esses dados e encontrar a resposta para o primeiro item

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 3

Para o segundo item temos que analisar o seguinte, sempre que um elétron passa de uma camada para outra ele ou emite um fóton ou absorve um fóton, mas o que isso significa?

Significa que toda energia perdida pelo elétron( ou absorvida por ele) é idêntica ao do fóton emitido( ou absorvido), ou seja, podemos afirmar que

Equation

Mas qual a fórmula de cada um deles?

Passo 4

Sabemos que a energia do fóton é dado pela fórmula

Equation

Para o elétron sabemos que podemos escrever sua fórmula da seguinte forma

Equation

Vamos então primeiro qual o nível final ao qual o elétron está, e para isso basta apenas calcular qual a energia emitida pela fóton, que é dada pela fórmula

Equation

Em que

Equation

Equation

substituindo isso na fórmula teremos

Equation

Com essa energia de 2,55 eV o fóton só pode estar no nível em que n=2

logo já sabemos que o nível final é 2, mas como faremos para achar o nível inicial?

Basta lembrar que a variação de energia no elétron é igual a energia no fóton, com isso basta apenas fazer a seguinte conta

Equation

Já sabemos tanto quanto é o nível final quanto quanto é a energia no fóton, substituindo teremos

Equation

Equation

Equation

Logo o nível inicial é o nível 4

Passo 5

Vamos fazer uma lista que represente as semelhanças e diferenças entre os dois modelos.

Semelhanças

  • Quantização da energia( ligado ao fenômeno da absorção e emissão do átomo de hidrogênio)
  • Ambos acharam o mesmo valor para constante de Rydberg ajustada empiricamente por Balmer.
  • Diferenças

  • Momento angular ( para Bohr esse valor nunca pode ser zero, enquanto que para Schrödinger quando o átomo de hidrogenia está no seu estado fundamental essa grandeza é zero .
  • Para Bohr o elétron é uma partícula enquanto que para Schrödinger é uma onda de matéria , o que fazia com que Schrödinger concordasse com a ideia Broguie
  • Com Bohr as grandezas físicas são bem definidas tratadas ainda de forma semiclássica utilizando ainda o modelo planetário como referencia.
  • Já da solução de Schrödinger aparece um novo número quântico( Equation ) e podemos descrever modelos com mais de 1 elétron. Além é claro de poder calcular o tempo entre as transições de energia do elétron, algo não previsto pela teoria de Bohr.
  • Resposta

    a) Equation

    b) Equation

    c)

    Semelhanças

  • Quantização da energia( ligado ao fenômeno da absorção e emissão do átomo de hidrogênio)
  • Ambos acharam o mesmo valor para constante de Rydberg ajustada empiricamente por Balmer.
  • Diferenças

  • Momento angular ( para Bohr esse valor nunca pode ser zero, enquanto que para Schrödinger quando o átomo de hidrogenia está no seu estado fundamental essa grandeza é zero .
  • Para Bohr o elétron é uma partícula enquanto que para Schrödinger é uma onda de matéria , o que fazia com que Schrödinger concordasse com a ideia Broguie
  • Com Bohr as grandezas físicas são bem definidas tratadas ainda de forma semiclássica utilizando ainda o modelo planetário como referencia.
  • Já da solução de Schrödinger aparece um novo número quântico( Equation ) e podemos descrever modelos com mais de 1 elétron. Além é claro de poder calcular o tempo entre as transições de energia do elétron, algo não previsto pela teoria de Bohr.

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