Exercícios Resolvidos de Energia do Átomo Hidrogenóide

Ver Teoria

Enunciado

A função de onda do elétron no átomo de hidrogênio no estado 1 s é

ψ r ,   θ ,   ϕ = C e - r / a 0

onde a 0 é o raio de Bohr e C é uma constante real.

(a) Para estes estados, dê os possíveis valores dos números quânticos n , l , m l e m s do elétron e também o módulo do seu momento angular orbital.

(b) Qual é a energia necessária para levar este elétron para o estado 3 p ?

(c) Use a condição de normalização para determinar o valor de C .

(d) Calcule o valor médio de r no estado 1 s

Passo 1

Sabemos que o estado 1 s tem o número quântico principal igual a 1

n   =   1

Já o número quântico secundário varia de 0 até n - 1 . Como n = 1 , temos somente um valor possível para l

l = 0

Já o número quântico m l varia de - l até l . Como l = 0 , só temos uma possibilidade

  m l = 0

E o número quântico de spin tem duas possibilidades

m s = ± 1 2

Agora o módulo do momento angular é dado por

L = l l + 1 ℏ

Como l = 0 temos

L = 0

Passo 2

Temos que a energia do estado 1 s é

E 1 =   - 13,6   e V

Já a energia do estado 3 p será

E 3 = - 13,6 3 2   e V

De forma que a energia para levar o elétron do estado 1 s para 3 p será

Δ E = E 3 - E 1 = - 13,6 1 3 2 - 1 ≈ 12,1   e V

Passo 3

Aqui temos que usar a condição de normalização

∫ ψ   ψ * d 3 r   =   1

Como a nossa função de onda tem simetria esférica (não depende de θ e ϕ ) vamos usar coordenadas esféricas para essa integral

∫ ψ   ψ * d 3 r   = ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π s e n   θ d θ ∫ 0 ∞ r 2   d r   C 2 e - 2 r / a 0   =   1

A integral na parte angular será

∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π s e n   θ d θ = 4 π

Já a integral na parte radial poderia a princípio ser feita por partes, mas muito provavelmente ela vai estar no seu formulário, aparecendo da seguinte forma

∫ 0 ∞ x n   e - x   d x   =   n !

Para deixar a nossa integral com a cara dessa aí do formulário faremos uma mudança de variável. No caso façamos

x = 2 r a 0   →   r = a 0 2 x   →   d r = a 0 2 d x

De forma que a nossa integral ficará

∫ 0 ∞ r 2   d r   C 2 e - 2 r / a 0 = ∫ 0 ∞ a 0 2 x 2 a 0 2 d x   C 2 e - x = a 0 2 3 C 2 ∫ 0 ∞ x 2   e - x   d x

Essa última integral segundo nosso formulário será 2 ! (dois fatorial).

∫ 0 ∞ r 2   d r   C 2 e - 2 r / a 0 = a 0 2 3 C 2 2 ! = a 0 3 C 2 4

Juntando tudo, temos

4 π a 0 3 C 2 4 = 1

Isolando C

C = 1 π a 0 3

Passo 4

Temos que o valor médio de r será dado por

r   = ∫ r   ψ   ψ *   d 3 r  

Aqui de novo podemos separar em parte angular e em parte radial

r = ∫ r   ψ   ψ *   d 3 r = ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π s e n   θ d θ ∫ 0 ∞ r 3   d r   C 2 e - 2 r / a 0

A parte angular, sabemos que será 4 π .

Já na parte radial temos que fazer a mesma substituição

x = 2 r a 0   →   r = a 0 2 x   →   d r = a 0 2 d x

Assim a integral na parte radial ficará

∫ 0 ∞ r 3   d r   C 2 e - 2 r / a 0 = ∫ 0 ∞ a 0 2 x 3 a 0 2 d x   C 2 e - x = a 0 2 4 C 2 ∫ 0 ∞ x 3   e - x   d x

Pelo nosso formulário essa última integral será 3 ! (três fatorial). Assim

∫ 0 ∞ r 3   d r   C 2 e - 2 r / a 0 = a 0 2 4 C 2 3 ! = a 0 4 2 4 1 π a 0 3 2 3.2 = 3 a 0 4 2 3 1 π a 0 3 = 3 a 0 8 π

onde usamos o valor de C que descobrimos no item (c).

Juntando tudo temos

r = 4 π 3 a 0 8 π = 3 a 0 2

Resposta

  1. L = 0
  2. Δ E = E 3 - E 1 = - 13,6 1 3 2 - 1 ≈ 12,1   e V
  3. C = 1 π a 0 3
  4. r = 4 π 3 a 0 8 π = 3 a 0 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule os valores esperados da energia cinética T e da energia potencial V nos estado fundamental do átomo de hidrogênio, e verifique que satisfazem ao teorema do virial: V = - 2 T .
Uma partícula de 1 μg está se movendo a uma velocidade de aproximadamente 1 mm / s em uma caixa unidimensional que tem um comprimento igual a 1 cm. Calcule o valor aproximado do número quântico n do e