Exercícios Resolvidos de Energia do Átomo Hidrogenóide

USP, Física 4, P3 - 2016, Questão 3

A função de onda do elétron no átomo de hidrogênio no estado Equation é

Equation

onde Equation é o raio de Bohr e Equation é uma constante real.

(a) Para estes estados, dê os possíveis valores dos números quânticos Equation , Equation , Equation e Equation do elétron e também o módulo do seu momento angular orbital.

(b) Qual é a energia necessária para levar este elétron para o estado Equation ?

(c) Use a condição de normalização para determinar o valor de Equation .

(d) Calcule o valor médio de Equation no estado Equation

Passo 1

Sabemos que o estado Equation tem o número quântico principal igual a Equation

Equation

Já o número quântico secundário varia de Equation até Equation . Como Equation , temos somente um valor possível para Equation

Equation

Já o número quântico Equation varia de Equation até Equation . Como Equation , só temos uma possibilidade

Equation

E o número quântico de spin tem duas possibilidades

Equation

Agora o módulo do momento angular é dado por

Equation

Como Equation temos

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que a energia do estado Equation é

Equation

Já a energia do estado Equation será

Equation

De forma que a energia para levar o elétron do estado Equation para Equation será

Equation

Passo 3

Aqui temos que usar a condição de normalização

Equation

Como a nossa função de onda tem simetria esférica (não depende de Equation e Equation ) vamos usar coordenadas esféricas para essa integral

Equation

A integral na parte angular será

Equation

Já a integral na parte radial poderia a princípio ser feita por partes, mas muito provavelmente ela vai estar no seu formulário, aparecendo da seguinte forma

Equation

Para deixar a nossa integral com a cara dessa aí do formulário faremos uma mudança de variável. No caso façamos

Equation

De forma que a nossa integral ficará

Equation

Essa última integral segundo nosso formulário será Equation (dois fatorial).

Equation

Juntando tudo, temos

Equation

Isolando Equation

Equation

Passo 4

Temos que o valor médio de Equation será dado por

Equation

Aqui de novo podemos separar em parte angular e em parte radial

Equation

A parte angular, sabemos que será Equation .

Já na parte radial temos que fazer a mesma substituição

Equation

Assim a integral na parte radial ficará

Equation

Pelo nosso formulário essa última integral será Equation (três fatorial). Assim

Equation

onde usamos o valor de Equation que descobrimos no item (c).

Juntando tudo temos

Equation

Resposta

  1. Equation
  2. Equation
  3. Equation
  4. Equation

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