Exercícios Resolvidos de Energia do Átomo Hidrogenóide

USP, Física 4, P3 - 2015, Questão Q4

Nesta questão denotamos por Equation os estados do átomo de hidrogênio sem levar em conta o spin do elétron, onde Equation , Equation e Equation são respectivamente os números quânticos principal, orbital e magnético. Os números quânticos magnéticos foram determinados com respeito a um campo magnético com componente somente na direção Equation .

  1. A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é
  2. Equation

    onde Equation é o raio de Bohr. Calcule o valor da constante Equation de normalização.

  3. Um elétron está no estado Equation . Considere a energia Equation e o momento angular orbital Equation e seu módulo Equation . Quais são os valores de Equation , Equation e Equation ?
  4. Considere agora um átomo com muitos elétrons na aproximação onde se despreza a interação entre os elétrons. Neste caso, a função de onda de cada elétron é semelhante à do hidrogênio e possui os mesmos números quânticos. Levando em conta o número quântico de spin, determine o número máximo de elétrons que possuem o número quântico principal igual a Equation .

Passo 1

Letra a)

Para normalizar a função de onda, temos que integrá-la em todo o espaço tridimensional, e assim:

Equation

Porém, isso é muito difícil pois, para integrar em Equation , teríamos que usar Equation .

Então, o mais simples é transformarmos isso em uma integral na distribuição de probabilidade radial, Equation , fazendo o elemento de volume esférico virar um elemento no raio:

Equation

E assim:

Equation

Agora substituindo:

Equation

Equation

Para resolver a integral, poderíamos fazer uma substituição de variável e integrar por partes, achar uma fórmula, entre outras coisas.

Mas dessa vez, faremos um pouco diferente: Iremos dar uma fórmula direta. No formulário, é possível que seja dada essa fórmula, e por isso que vamos fazer assim dessa vez (nessa prova, essa fórmula era dada).

Equation

No caso, Equation e Equation , e assim:

Equation

Substituindo na fórmula da normalização:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

A energia do elétron é dada por:

Equation

Como ele está no estado Equation , então Equation , e sua energia é:

Equation

O módulo do momento angular é dado por:

Equation

No estado Equation temos Equation , e assim:

Equation

E a componente do momento angular ao longo do eixo Equation é

Equation

Onde Equation , e assim:

Equation

Passo 3

Letra c)

Com o número quântico principal igual a Equation , os valores de Equation possíveis são:

Equation

Agora vejamos os valores de Equation possíveis para cada Equation .

Equation

Equation

Equation

Temos então Equation trincas de valores possívels para Equation . Levando em conta o spin do elétron, para cada trinca, eu posso ter dois elétrons em cada trinca (spin up e spin down).

Logo, eu posso ter Equation elétrons com Equation .

Resposta

Letra a)

Equation

Letra b)

Equation

Equation

Equation

Letra c)

Eu posso ter Equation elétrons com Equation

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas