Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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Enunciado

Considere as seguintes funções y(x; t):

I. y(x; t) = 2 x - v t

II. y(x; t) = cos (x) sin (t)+cos (4x) sin (4t)

III. y(x; t) = sin (5x - t) + 4 cos (5x - t)

IV. y(x; t) = 3 cos (2x) sin (10t)

Assinale a alternativa correta:

(a) I representa uma onda progressiva viajando da esquerda para direita.

(b) II não representa uma onda.

(c) III representa uma superposição de duas ondas estacionárias.

(d) IV representa uma onda estacionária.

Passo 1

Vamos analisar as opções.

a) Para ser uma onda:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 ∂ 2 y ∂ t 2

E:

v x 2 = ∂ 2 y ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2

Primeiro vamos fazer:

∂ y ∂ t = - v

∂ 2 y ∂ t 2 = 0

∂ y ∂ x = 1 x

∂ 2 y ∂ x 2 = - 1 2 x 3

Então:

v x 2 = 0 - 1 2 x 3 = 0

Então a alternativa é falsa!

b) Vamos fazer a mesma coisa:

∂ y ∂ t = cos ⁡ t cos ⁡ x + 4 cos ⁡ 4 x cos ⁡ 4 t

∂ 2 y ∂ t 2 = - sen ⁡ t cos ⁡ x - 16 sin ⁡ 4 t cos ⁡ 4 x

∂ y ∂ x = - sin ⁡ x sin ⁡ t - 4 sin ⁡ 4 x sin ⁡ 4 t

∂ 2 y ∂ x 2 = - cos ⁡ x sin ⁡ t - 16 cos ⁡ 4 x sin ⁡ 4 t

v x 2 = - sin ⁡ t cos ⁡ x - 16 sin ⁡ 4 t cos ⁡ 4 x - cos ⁡ x sin ⁡ t - 16 cos ⁡ 4 x sin ⁡ 4 t

v x 2 = 1

É uma onda, então a alternativa é falsa!

c) Vamos lembrar do formato da onda estacionária:

y x , t = [ 2 A sin ⁡ k x ] cos ⁡ ω t

Como a função 3 tem um seno e um cosseno, e tem um 4 multiplicando aquele cosseno, a gente não consegue juntar os dois numa equação só. Então NÃO é uma onda estacionária.

d) Tá certo! Representa uma onda estacionária porque se você comparar com a forma geral da onda estacionária:

y x , t = [ 2 A sin ⁡ k x ] cos ⁡ ω t

É bem parecido né.

Resposta

Letra D.

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