Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

Ver Teoria

Enunciado

a) Mostre, por substituição direta, que y ( x ,   t )   =   y m c o s ( k x   - ω t   + φ ) (onde y m ,   k , ω   e   φ são constantes) é solução da equação de onda ∂ 2 y ∂ t 2 = v 2 ∂ 2 ∂ x 2 se ω = k v e determine a velocidade v da onda em termos do comprimento de onda λ   e do período T .

A figura 3 mostra o deslocamento tranversal y ao longo de uma corda que suporta uma onda harmônica como a descrita no item anterior, em dois instantes de tempo, t   =   0   e   t   =   100   m s . Durante este intervalo de tempo, as cristas da onda deslocam-se de uma distância d   =   80 ,   0   c m , como indica a figura. Nela, cada divisão do eixo horizontal vale 1 ,   0   m e a distância H entre as cristas e os vales é de 6,0   m m .

b)Determine a amplitude da onda y m .

c)Determine o número de onda k .

d)Determine a frequência angular ω .

e)Determine a constante de fase φ da onda.

Passo 1

a)

Vamos calcular cada uma das derivadas segunda e depois jogar na relação. Se encontrarmos uma igualdade verdadeira, teremos conseguido provar que y ( x , t ) é uma solução da equação de onda.

∂ y x , t ∂ t = ω y m s e n k x - ω t + φ → ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = - ω 2 y m cos ⁡ k x - ω t + φ

∂ y x , t ∂ x = - k y m s e n k x - ω t + φ → ∂ 2 y x , t ∂ x 2 = - k 2 y m cos ⁡ k x - ω t + φ

Jogando na equação:

∂ 2 y ∂ t 2 = v 2 ∂ 2 y ∂ x 2

- ω 2 y m cos ⁡ k x - ω t + φ = v 2 . - k 2 y m cos ⁡ k x - ω t + φ

Cortando - y m cos ⁡ k x - ω t + φ dos dois lados:

ω 2 = k 2 v 2

Tirando a raiza quadrada nos dois lados:

ω = k v

Essa igualdade é verdadeira? Sim, uma velha conhecida nossa. Assim, concluímos, por substituição, que y ( x , t ) é uma solução da equação de onda.

Passo 2

b)

Pela figura, vemos que:

2 A = H → A = H 2 = 6,0 2 = 3,0 m m

Passo 3

c)

Pra descobrir λ , basta a gente observar a figura pontilhada: Observe quantas divisões existem após passarem os dois picos que formam um ciclo completo da onda. Viu?

Assim, percebemos que:

λ = 4,0 m

Assim podemos determinar k :

k = 2 π λ = 2 π 4 = π 2 m - 1

Passo 4

d)

Peloe enunciado, sabemos que a onda se deslocou d = 80 ,   0   c m em um tempo ∆ t = 100 m s .

Assim:

v = 80.10 - 2 100.10 - 3 = 8,00 m / s

Assim, usando:

ω = k v = π 2 . 8,00 = 4 π r a d / s

Passo 5

e)

Podemos aplicar na equação de onda t = 0   e   x = 0 . Pelo gráfico, vemos que, nesse caso, y x , t = 0 .

Assim:

y 0,0 t =   y m c o s k 0 - ω 0 + φ = 0

y

y m cos ⁡ φ = 0 → cos ⁡ φ = 0 →   φ = π 2

Resposta

a)

Demonstração acima.

b)

A = 3,0 m m

c)

k = π 2 m - 1

d)

ω = 4 π r a d / s

e)

φ = π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Uma onda tem uma velocidade de 240 m s e um comprimento de onda de 3,2   m . Qual é (a) a frequência e (b) o período da onda?
Uma onda possui uma frequência angular de 110   r a d / s e um comprimento de onda de 1,80   m . Calcule (a) o número de onda e (b) a velocidade da onda.
Três ondas, que têm a mesma frequência, o mesmo comprimento de onda e a mesma amplitude, viajam ao longo do eixo x . As três ondas são descritas pelas seguintes funções de onda: y ...
A velocidade no vácuo das ondas eletromagnéticas (como as ondas de luz visível, as ondas de rádio e os raios X) é 3,0 × 10 8   m / s . (a) Os comprimentos de onda da luz visível vã...