Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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Enunciado

Marque a opção que NÃO representa uma solução da equação de onda para uma corda. Considere que as constantes A , A 1 , A 2 , B , B 1 , B 2 e ω são todas diferentes de zero:

  1. A s e n k x - ω t + B
  2. A 1 s e n k x - ω t + B + A 2 s e n k x - 2 ω t + B 2
  3. A 1 s e n k x - ω t + B - A 2 s e n - 2 k x - 2 ω t + B 2
  4. A s e n k x - ω t + A s e n - k x - ω t
  5. A s e n k x c o s ⁡ ( ω t )

Passo 1

Nessa questão a gente vai precisar usar a equação de onda:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

Vamos tentar aplica-la a cada um dos casos, até a gente achar o caso que não pode ser usado nessa equação.

Sacou? A gente vai derivar de uma lado em relação a   x , do outro em relação ao t , e vamos ver se surge um v 2 na historia.

Maaas, provavelmente a gente vai precisar usar a relação:

k v = ω

Vamos lá.

Passo 2

a):

Derivando duas vezes em relação a x :

∂ y 2 x , t ∂ x 2 = - k 2 A s e n k x - ω t + B

E em relação ao t :

∂ y 2 x , t ∂ t 2 = - ω 2 A s e n k x - ω t + B

Aplicando a equação:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

v x 2 = ∂ y 2 ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2 = - ω 2 A s e n k x - ω t + B - k 2 A s e n k x - ω t + B = ω 2 k 2 = v x 2

Então essa ai tá certinha, viu?

Passo 3

b):

Derivando duas vezes em relação a x :

∂ y 2 x , t ∂ x 2 = - k 2 A 1 s e n k x - ω t + B - k 2 A 2 s e n k x - 2 ω t + B

E em relação ao t :

∂ y 2 x , t ∂ t 2 = - ω 2 A 1 s e n k x - ω t + B - 4 ω 2 A 2 s e n k x - 2 ω t + B

Aplicando a equação:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

v x 2 = ∂ y 2 ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2 = - ω 2 A 1 s e n k x - ω t + B - 4 ω 2 A 2 s e n k x - 2 ω t + B - k 2 A 1 s e n k x - ω t + B - k 2 A 2 s e n k x - 2 ω t + B

v x 2 = - ω 2 A 1 s e n k x - ω t + B - 4 A 2 s e n k x - 2 ω t + B - k 2 A 1 s e n k x - ω t + B - A 2 s e n k x - 2 ω t + B

Como:

ω 2 k 2 = v x 2 :

v x 2 = v x 2 . A 1 s e n k x - ω t + B - 4 A 2 s e n k x - 2 ω t + B A 1 s e n k x - ω t + B - A 2 s e n k x - 2 ω t + B

O que é uma contradição, não é? Então, essa não é uma solução da equação de onda.

Sacou? Você tenta isolar o v aplicando a equação de onda, e quando surge uma contradição assim, você percebe que não é uma solução da equação de onda.

Então, a resposta é:

b)

Passo 4

c):

Seguindo o mesmo raciocínio que a b):

∂ y 2 x , t ∂ x 2 = - k 2 A 1 s e n k x - ω t + k 2 A 2 s e n - k x - ω t

∂ y 2 x , t ∂ t 2 = - ω 2 A 1 s e n k x - ω t + B - 4 ω 2 A 2 s e n - 2 k x - 2 ω t + B

Aplicando a equação:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

v x 2 = ∂ y 2 ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2 = - ω 2 A 1 s e n k x - ω t + B - 4 ω 2 A 2 s e n - 2 k x - 2 ω t + B - k 2 A 1 s e n k x - ω t + B - 4 k 2 A 2 s e n k x - ω t + B

v x 2 = - ω 2 A 1 s e n k x - ω t + B - 4 A 2 s e n k x - 2 ω t + B - k 2 A 1 s e n k x - ω t + B - 4 A 2 s e n k x - 2 ω t + B

Como as expressões com seno e cosseno são iguais, podemos cortá-las:

v x 2 = ω 2 k 2 = v x 2

Passo 5

d):

Derivando duas vezes em relação a x :

∂ y 2 x , t ∂ x 2 = - k 2 A 1 s e n k x - ω t - k 2 A 2 s e n - k x - ω t

E em relação ao t :

∂ y 2 x , t ∂ t 2 = - ω 2 A 1 s e n k x - ω t - ω 2 A 2 s e n - k x - ω t

Aplicando a equação:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

v x 2 = ∂ y 2 ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2 = - ω 2 A 1 s e n k x - ω t - ω 2 A 2 s e n k x - ω t - k 2 A 1 s e n k x - ω t - k 2 A 2 s e n k x - ω t

v x 2 = - ω 2 A 1 s e n k x - ω t - A 2 s e n k x - ω t - k 2 A 1 s e n k x - ω t - A 2 s e n k x - ω t

Cortando as partes iguais:

v x 2 = ω 2 k 2 = v x 2

Passo 6

e):

Derivando duas vezes em relação a x :

∂ y 2 x , t ∂ x 2 = - k 2 s e n k x c o s ⁡ ( ω t )

E em relação ao t :

∂ y 2 x , t ∂ t 2 = - ω 2 s e n k x c o s ⁡ ( ω t )

Aplicando a equação:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

v x 2 = ∂ y 2 ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2 = - ω 2 s e n k x cos ⁡ ω t - k 2 s e n k x cos ⁡ ω t = ω 2 k 2 = v x 2

Então essa ai tá certinha, viu?

Resposta

b)

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