Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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Enunciado

Uma corda de comprimento L = 5   m tem massa m = 2   k g e está submetida a uma tração T = 40   N , com o extremo em x = L preso a um suporte numa parede. Uma onda é produzida nesta corda ao movimentar-se seu extremo em x = 0 num movimento harmônico com um período de τ = 0,5   s . No instante t = 0 esta extremidade da corda passava por y = 0 com velocidade v y = - 20   c m / s .

a) Calcule a velocidade de propagação v , a frequência angular ω e o comprimento de onda λ da onda formada na corda.

b) Escrevendo a função de onda na forma y ( x ,   t ) = A c o s ( k x - ω t + φ ) , determine a amplitude A e a constante de fase φ desta onda, antes que ela atinja o outro extremo em x   =   L .

Onde aplicável, a resposta pode ficar em função de π .

Passo 1

Para resolver a letra (a), vamos usar algumas fórmuletas 😊

Primeiro, vamos achar a velocidade. Para isso, podemos usar a fórmula da velocidade numa corda:

v   = T μ

Onde μ = m L , pois trata-se da densidade linear da corda. Substituindo na fórmula:

v = T L m   = 40 ∙ 5 2 = 10   m / s

Passo 2

Além disso, temos que ω   = 2 π τ e o enunciado nos disse que τ   =   0,5   s , logo:

ω = 4 π   r a d / s

Passo 3

Para achar o comprimento de onda, temos a relação:

v = λ τ

λ   =   v τ = 10 ∙ 0,5   =   5   m

Passo 4

Na letra (b), o enunciado pede para usarmos a equação:

y x ,   t = A c o s k x - ω t + φ

Utilizando o gráfico e a última informação do enunciado, podemos ver que:

y 0,0 = 0

Logo:

y 0 ,   0 = A cos ⁡ φ = 0 ⇒ φ = ± π 2

Passo 5

Mas e agora? Vamos usar + ou - ?

Bom, para responder isso, nós vamos olhar para a velocidade transversal dessa onda ∂ y x , t ∂ t . Ou seja, podemos derivar y ( x , t ) em relação ao tempo e achar a velocidade no eixo y :

v y ( x ,   t )   =   A ω s e n ( k x - ω t + φ )

Pelo enunciado, nós temos:

v 0,0 = - 20   c m / s = - 0,2   m / s

E, com isso:

v y 0 ,   0 = A ω sen ⁡ φ = - 0,2   m / s

Dessa forma, para que o termo A ω sen ⁡ φ fique negativo, o sen ⁡ φ tem que ser negativo. Então:

φ = - π 2

Pela equação da velocidade ( v y ):

A = - 0,2 ω sen ⁡ φ

Agora, substituindo os valores de sen ⁡ φ e ω :

A   = 0,2 4 π   = 0,05 π   m

Resposta

  1. v = 10   m / s ; ω = 4 π   r a d / s ; λ = 5   m ;
  2. φ = - π 2 ; A = 0,05 π   m  

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