Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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Enunciado

Uma perturbação pode ser escrita na forma

y x , t = e - x / b 2 e 2 x t / b e - t 2 a

Essa expressão:

a) não representa uma onda em propagação.

b) representa uma onda que se propaga com v = a.

c) representa uma onda que se propaga com v = a/b.

d) representa uma onda que se propaga com v = b.

e) representa uma onda que se propaga com v = 1/b.

Passo 1

Para ser uma equação de onda, a função tem que poder ser escrita como

y x , t = f x - v t + g ( x + v t )

Onde f ( x - v t ) se propaga no sentido positivo do eixo x (+x) e g ( x + v t ) se propaga no sentido negativo do eixo x (-x).

Ou seja, vamos manipular a equação até conseguir escrever um ( x ± v t ) em algum lugar da função.

Passo 2

Vamos manipular essas exponenciais:

y x , t = e - x / b 2 e 2 x t / b e - t 2 a

Vamos usar que o produto de exponenciais, a gente repete a base e soma os expoentes. E que potência de potência, a gente multiplica os expoentes:

y x , t = exp ⁡ a - x b 2 + 2 x t b - t 2  

Botando tudo no mesmo denominador:

y x , t = exp ⁡ a - x 2 + 2 b x t - b 2 t 2 b 2

Podemos botar em evidência:

y x , t = exp ⁡ - a b 2 x 2 - 2 b x t + b t 2

Repare que o polinômio que formou ali é um quadrado perfeito!

Pois

x - b t 2 = x 2 - 2 b x t + b 2 t 2

Fazendo essa substituição, chegamos em:

y x , t = e - a b 2 x - b t 2

Passo 3

Repare que ali no expoente tem um termo x - b t , então podemos dizer que

y x , t = f x - b t

Então isso é uma função de onda desde que

v = b

y x , t = f x - b t = f ( x - v t )

Uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo x.

Resposta

d) representa uma onda que se propaga com v = b.

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