Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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Enunciado

Um pulso numa corda é descrito pela função:

y 1 x , t = 0,5 e - ( 0,2 x + 10 t ) 2

Onde x   e   y 1 são dados em cm e t em segundos.

a) Calcule a velocidade do pulso e determine em que sentido ele se propaga.

b) Determine a velocidade dos pontos da corda em função de x e t e calcule essa velocidade em x = 0 e t = 0.

c) Encontre uma função de onda y 2 x , t que descreva o pulso de mesma forma mas que se propaga em sentido oposto.

Passo 1

a) Vamos dar uma melhor olhada naquele expoente ali.

- ( 0,2 x + 10 t ) 2 = - x 5 + 50 5 t 2 = - 1 5 2 x + 50 t 2 = - 1 25 x + 50 t 2

Então:

y 1 x , t = 0,5 e - 1 25 x + 50 t 2

Sabemos que uma função de onda tem que ser do tipo f ( x ∓ v t ) .

Se for + v t se propaga no sentido negativo do eixo x.

Se for – v t se propaga no sentido positivo do eixo x.

Nesse caso nós vamos ter:

y 1 x , t = f x + v t = 0,5 e - 1 25 x + 50 t 2

Em que:

x + v t = x + 50 t

Então a velocidade vai ser:

v = 50   c m / s

Se propagando no sentido negativo do eixo x.

Passo 2

b) Para calcular a velocidade dos pontos da corda temos que derivar com relação a t.

Aqui eu vou usar a regra do produto pra derivadas.

∂ y 1 x , t ∂ t = - 4 x + 50 t 0,5 e - 1 25 x + 50 t 2

∂ y 1 x , t ∂ t = - 2 x + 50 t e - 1 25 x + 50 t 2

Passo 3

Calculando essa velocidade em t = x = 0 :

∂ y 1 0,0 ∂ t = - 2 0 e - 1 25 0 2

∂ y 1 0,0 ∂ t = 0

Passo 4

c) Para que se propague no sentido oposto, nós mudamos o sinal de v t :

y 2 x , t = 0,5 e - 1 25 x - 50 t 2

Resposta

a) v = 50   c m / s

Se propagando no sentido negativo do eixo x.

b) ∂ y 1 x , t ∂ t = - 2 x + 50 t e - 1 25 x + 50 t 2 e ∂ y 1 0,0 ∂ t = 0

c) y 2 x , t = 0,5 e - 1 25 x - 50 t 2

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