Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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Enunciado

Quais das funções abaixo são soluções da equação de ondas em uma dimensão?

y 1 x , t = 2 x 3 + 12 x 2 t + 24 x t 2 + 16 t 3

y 2 x , t = A cos ⁡ k x cos ⁡ ω t

y 3 x , t = A   s e n 2 B x + C t

(a) nenhuma delas

(b) as funções y 2   ,   y 3

(c) todas elas.

(d) as funções y 1   e   y 3

(e) apenas a função de onda y 3

Passo 1

Para uma função ser solução de uma equação de ondas ela deve seguir:

∂ 2 y ∂ 2 x = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ 2 t

Ou você deriva duas vezes em x e depois em t e compara as duas para ver se a equação acima é válida.

Ou você usa o fato de que existe uma solução geral para essa equação que é

y x , t = f x + v t + g ( x - v t )

Se você conseguir reescrever a função como uma função de x ± v t , já se garante que é uma equação de onda.

Passo 2

Na função 1:

y 1 x , t = 2 x 3 + 12 x 2 t + 24 x t 2 + 16 t 3

Repare que essa função é bem simétrica: 2 termos ao cubo, 2 termos ao quadrado.

Vou usar a relação

2 x 3 + 12 x 2 t + 24 x t 2 + 16 t 3 = 2 ( x 3 + 6 x 2 t + 12 x t 2 + 8 t 3 ) = 2 ( x + 2 t ) 3

y 1 x , t = 2 ( x + 2 t ) 3 = f ( x + 2 t )

Comparando isso com a solução geral:

f x + 2 t = f ( x + v t )

É uma solução de onda, com velocidade v = 2 , que se propaga no sentido de - x ^ .

Passo 3

Na função 2:

y 2 x , t = A cos ⁡ k x cos ⁡ ω t

Vou usar as relações trigonométricas:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n b s e n ( a )

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n b s e n ( a )

Se somarmos as duas equações acima:

cos ⁡ a cos ⁡ b = cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b 2

Fazendo a = k x e b = ω t :

y 2 = A 2   [ cos ⁡ k x + ω t + cos ⁡ k x - ω t ]

y 2 = A 2 cos ⁡ k x + ω k t + cos ⁡ k x - ω k t

y 2 = f x + ω k t + g x - ω k t = f x + v t + g ( x - v t )

É uma função de onda com velocidade v = ω / k .

Passo 4

Na função 3:

y 3 x , t = A   s e n 2 B x + C t

Botando B em evidência

y 3 x , t = A   s e n 2 B x + C B t

y 3 = f x + C B t = f ( x + v t )

É uma função de onda com velocidade v = C / B que se propaga no sentido - x ^ .

Resposta

(c) todas elas.

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