Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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Enunciado

Uma corda de comprimento L   =   70   c m tem o extremo em x   =   0 fixo e o extremo em   x   =   L livre. Quando vibra em um de seus modos normais, um ponto da corda num ventre oscila dez vezes por segundo e seu deslocamento atinge o valor máximo de 5   c m . A distância entre ventres adjacentes vale 20   c m .

a) Determine o comprimento de onda bem como a velocidade de propagação das ondas nesta corda.

b) Faça um esboço do perfil y ( x ) da corda neste modo de vibração, no instante em que todos os seus pontos têm deslocamento máximo. Indique claramente a posição de cada nó.

c) Escreva as expressões para a velocidade transversal v y x , t = d y ( x , t ) / d t   dos pontos extremos da corda ,   x   =   0   e   x   =   L . Considere δ = 0 para a constante de fase da parte temporal de y ( x , t ) .

Passo 1

a) A distância entre dois ventres (ou entre dois nós) consecutivos equivale a meio comprimento de onda. Então:

λ = 2 × 20   c m = 40   c m

Ele disse que um ponto da corda num ventre oscila 10 vezes por segundo. Isso quer dizer que f = 10   H z .

Como já temos a frequência e o comprimento de onda, podemos achar a velocidade:

v = λ f = 40 × 10 = 400   c m s

v = 4   m s

Passo 2

b) Repara que: como λ = 40   c m e L = 70   c m , λ vai caber uma vez nessa corda e vão sobrar 30   c m . Ou seja, vão sobrar 3 λ 4 . Então podemos dizer que:

L = λ + 3 λ 4

Vamos lembrar que a equação da onda é:

y x , t = A sin ⁡ k x cos ⁡ ω t + δ

Nos instantes em que os deslocamentos y ( x , t ) forem máximos, deveremos ter:

cos ⁡ ω t + δ = 1

Então:

y x = A sin ⁡ k x

Como ele disse que a amplitude é de 5   c m :

y x = 0,05 sin ⁡ 2 π x 0,4

y x = 0,05 sin ⁡ 5 π x

Os nós ocorrem em pontos em que 5 π x = 2 k π , sendo k um número inteiro.

Ou seja:

x = 0   c m ,   20   c m ,   40   c m ,   60   c m

Passo 3

c) O ponto x   =   0 corresponde a um nó. Como nos nós a velocidade é zero:

v y 0 ,   t =   0

O ponto x   =   L corresponde a um ventre, que vibra com amplitude máxima, portanto:

y ( L , t )   =   A c o s ( ω t   + δ ) .

Logo, derivando:

v y L , t = - ω A s e n ω t + δ

Sabemos que A = 0,05   m . Podemos calcular a frequência angular:

ω = 2 π f

ω = 2 π × 10

ω = 20 π   r a d / s

Substituindo:

v y L , t = - 20 π × 0,05 s e n 20 π t + δ

v y L , t = - π m s s e n 20 π t + δ

Usando δ = 0 :

v y L , t = - π m s s e n 20 π t

v y L , t = - 100 π c m s s e n 20 π t

Resposta

a)     λ = 40   c m , v = 4   m s

b) x = 0   c m ,   20   c m ,   40   c m ,   60   c m

c) v y L , t = - 100 π c m s s e n 20 π t

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