Exercícios Resolvidos de Equação modular

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Enunciado

Resolva em R a seguinte equação

5 x - x 2 - 6 = x 2 - 5 x + 6

Passo 1

Como o termo dentro do módulo é igual ao cara fora do módulo, ignorando aquele sinal. Vamos fazer essa equação pela definição de módulo

5 x - x 2 - 6 = 5 x - x 2 - 6 , 5 x - x 2 - 6 ≥ 0 - 5 x - x 2 - 6 , 5 x - x 2 - 6 < 0

Precisamos analisar o sinal daquela função de 2 º grau.

Ela vai ser uma parábola, com o a = - 1 , então o gráfico vai ser algo assim

Resta olharmos onde estão as raízes

5 x - x 2 - 6 = 0

- x 2 + 5 x - 6 = 0

x = - 5 ± 5 2 - 4 - 1 - 6 2 - 1

x = - 5 ± 25 - 24 - 2

x = - 5 ± 1 - 2

x = - 5 ± 1 - 2

x 1 = - 5 + 1 - 2 = - 4 - 2 = 2

x 2 = - 5 - 1 - 2 = - 6 - 2 = 3

Então teremos

Assim, ela vai ser positiva quando estiver entre 2 e 3 e negativa no resto

5 x - x 2 - 6 = 5 x - x 2 - 6 , 2 ≤ x ≤ 3 - 5 x - x 2 - 6 , x < 2       o u         x > 3

Assim, vamos ter duas equações

Se 2 ≤ x ≤ 3

5 x - x 2 - 6 = x 2 - 5 x + 6

E

Se x < 2       o u         x > 3

5 x - x 2 - 6 = - x 2 - 5 x + 6

Passo 2

Resolvendo a primeira, vamos ter

Se x 2 ≤ x ≤ 3

5 x - x 2 - 6 = x 2 - 5 x + 6

- x 2 - x 2 + 5 x + 5 x - 6 - 6 = 0

- 2 x 2 + 10 x - 12 = 0

Dividindo por 2

- x 2 + 5 x - 6 = 0

Essa é aquela equação que achamos no passo anterior, então vamos ter

x 1 = 2

x 2 = 3

Que é são valores que estão naquele intervalo do x

Passo 3

Na segunda equação, vamos ter

Se x < 2       o u         x > 3

5 x - x 2 - 6 = - x 2 - 5 x + 6

- x 2 + 5 x - 6 = - x 2 + 5 x - 6

Mas aqui nem temos equação, porque os dois lados são rigorosamente iguais. Isso nos diz que a solução disso é todo o intervalo

x < 2       o u         x > 3

Passo 4

Juntando as duas respostas

x 1 = 2

x 3 = 3

x < 2       o u         x > 3

Temos que a solução vai ser

x ≤ 2       o u         x ≥ 3

Resposta

x ≤ 2       o u         x ≥ 3

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