Exercícios Resolvidos de Equação modular

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Enunciado

Resolva em R as seguintes equações

x - 1 + 2 = 3

Passo 1

Vamos começar usando a definição do módulo em x

x - 1 = x - 1 , x - 1 ≥ 0 - x - 1 , x - 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 1 ≥ 0

x ≤ 1

E

x - 1 < 0

x < 1

Resultando em

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x - 1 , x < 1

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x + 1 , x < 1

Assim, vamos ter

x - 1 + 2 = x - 1 + 2 , x ≥ 1 - x + 1 + 2 , x < 1

x - 1 + 2 = x + 1 , x ≥ 1 - x + 3 , x < 1

Precisamos agora, analisar cada um daqueles módulos separadamente

Passo 2

Vamos para o primeiro módulo x + 1

x + 1 = x + 1 , x + 1 ≥ 0 - x + 1 , x + 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 1 ≥ 0

x ≥ - 1

E

x + 1 < 0

x < - 1

Resultando em

x + 1 = x + 1 , x ≥ - 1 - x + 1 , x < - 1

x + 1 = x + 1 , x ≥ - 1 - x - 1 , x < - 1

Passo 3

Vamos para o segundo módulo - x + 3

- x + 3 = - x + 3 , - x + 3 ≥ 0 - - x + 3 , - x + 3 < 0

- x + 3 ≥ 0

3 ≥ x

Invertendo essa desigualdade

x ≤ 3

E

- x + 3 < 0

3 < x

Invertendo essa desigualdade

x > 3

Resultando em

- x + 3 = - x + 3 , x ≤ 3 - - x + 3 , x > 3

- x + 3 = - x + 3 , x ≤ 3 x - 3 , x > 3

Passo 4

Vamos agora juntar todos esses módulos

x - 1 + 2 = x + 1 , x + 1 ≥ 0 - x - 1 , x + 1 < 0 , x ≥ 1 - x + 3 , x ≤ 3 x - 3 , x > 3 , x < 1

Para organizar essa bagunça, vamos juntar os intervalos

x - 1 + 2 = x + 1 , x ≥ 0   e   x ≥ 1   - x - 1 , x ≥ 1   e   x < - 1 - x + 3 , x ≤ 3   e   x < 1   x - 3 , x < 1   e   x > 3

x - 1 + 2 = x + 1 , x ≥ 1   - x - 1 , x ≥ 1   e   x < - 1 - x + 3 , x < 1   x - 3 , x < 1   e   x > 3

Aquelas duas linhas nunca podem acontecer, isso porque não temos x mairo que 1 e menor que - 1 , nem x maior que 3 e menor que 1

Terminando de organizar

x - 1 + 2 = x + 1 , x ≥ 1 - x + 3 , x < 1

Vamos ter duas equações, uma para cada intervalo

Passo 5

Com x ≥ 1

x + 1 = 3

x = 3 - 1

x = 2

Esse valor está no intervalo, então

x 1 = 2

Passo 6

Com x < 1

- x + 3 = 3

- x = 3 - 3

- x = 0

x = 0

Esse valor está no intervalo, então

x 2 = 0

Resposta

x 1 = 2

x 2 = 0

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