Exercícios Resolvidos de Equações de Graus Maiores

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Enunciado

Para cada função abaixo, determine um intervalo de comprimento 1 que ela possua pelo menos uma raiz da função

a )   f x = x 3 + x - 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

A questão fala em uma função f ( x )

f x = x 3 + x - 1

E quer saber qual é o intervalo de comprimento 1 e que dentro desse intervalo tem que ter pelo menos 1 raiz

Mas você lembra o que é uma raiz de uma função?

x no qual

f x = 0

Isso mesmo! Então a ideia é a gente igualar a função a zero e tentar achar raízes! E mais: essa raiz precisa estar em um intervalo de comprimento 1!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x 3 + x - 1

Precisamos achar as raízes, ou pelo menos uma delas

x 3 + x - 1 = 0

Mas essa é uma função de terceiro grau, e se você for tentar achar alguma raiz pelos métodos ‘tradicionais’ não vai achar nenhuma real

Obs.: o método tradicional seria testar os divisores (positivos e negativos) do termo independente

Então concluímos que não temos nenhuma raiz real. Mas e agora?

Passo 3

Vamos pensar o que acontece em torno de uma raiz? Quando a raiz é simples, a função passa de valores negativos/positivos para positivos/negativos, ou seja, ela troca de sinal! Então nesse intervalo temos com certeza uma raiz!

Vamos olhar com carinho a função novamente

f x = x 3 + x - 1

Vamos testar ela em x = 0

f 0 = 0 3 + 0 - 1 = - 1 < 0

Em zero a função assume um valor negativo. E se testarmos e x = 1 , o que será que acontece?

f 1 = 1 3 + 1 - 1 = 1 > 0

Isso significa que nesse intervalo [ 0 ; 1 ] temos uma raiz!

Sabemos qual é o valor dela? NÃO! Mas não é o valor da raiz que o problema pede! É o intervalo! Então tá tudo bem!

E esse intervalo ainda tem comprimento 1, que é exatamente o que o problema pede! Então é isso!

[ 0 ; 1 ]

Espero ter ajudado!

Resposta

[ 0 ; 1 ]