Exercícios Resolvidos de Equações de Graus Maiores

Ver Teoria

Enunciado

Encontre as raízes da equação abaixo

x 3 - 4 x 2 + 4 x - 1 = 0

Passo 1

Fala aííí!! Vamos encontrar as raízes dessa equação do terceiro grau?? Se você reparar, não temos o x em todos os termos da equação, então não podemos usar aquele método de colocar em evidência o x em comum a todos os termos...

Então como podemos atacar esse exercício?? Utilizaremos o processo de Briot-Ruffini! Com ele conseguiremos reduzir o grau do nosso polinômio até chegar numa equação que conseguimos resolver!!

Para usá-lo, precisamos conhecer pelo menos uma raiz da expressão que queremos reduzir o grau. Nesse caso, vamos testar alguns valores de x e ver se damos sorte:

Vamos primeiro testar x = 0

x 3 - 4 x 2 + 4 x - 1 = 0

Substituindo o valor, temos

0 3 - 4 ( 0 ) 2 + 4 0 - 1 = 0

- 1 = 0

Opa, essa igualdade não é verdade! - 1 ≠ 0 . Logo, x = 0 não é raíz dessa equação!

Vamos testar x = 1

x 3 - 4 x 2 + 4 x - 1 = 0

Substituindo o valor, temos

1 3 - 4 1 2 + 4 1 - 1 = 0

1 - 4 + 4 - 1 = 0

0 = 0

Opaaaaa, com x = 1 , nossa expressão zerou, o que significa que a igualdade será válida e 1 é uma raiz da nossa equação.

Passo 2

Agora sim, vamos a Briot Ruffini, com esse método vamos reescrever nossa equação como uma multiplicação de ( x - r ) , onde esse r é a raiz que conhecemos, vezes um outro polinômio de grau menor. No nosso caso, teremos:

x - 1 . a l g u m   o u t r o   p o l i n o m i o = 0

Beleza?! Então vamos lá! Primeira coisa que faremos é armar o quadro:

Na parte superior esquerda, colocamos a raiz que já conhecemos, no caso, 1 :

Na parte superior direita, colocamos os coeficientes da expressão que queremos reduzir:

x 3 - 4 x 2 + 4 x - 1 = 0

Agora, vamos repetir o primeiro coeficiente da parte superior direita na parte de baixo:

E multiplicar o número que desceu pela raiz conhecida:

Agora, some o resultado com o segundo coeficiente à direita

e coloque o resultado logo abaixo deste:

Beleza?!

Agora vamos repetir o processo até chegar no último coeficiente:

Agora o resultado da multiplicação somamos com o terceiro coeficiente à direita

E colocaremos o resultado logo abaixo deste:

Mais uma vez, pra encerrar:

Fazendo a multiplicação, temos

O resultado multiplicaremos com somamos com o quarto coeficiente à direita

E colocaremos o resultado logo abaixo deste:

O último termo do resultado é o resto, mas como o resto é zero, não precisamos nos preocupar com ele. Fica tranquilo que a ideia aqui é sempre encontrarmos zero mesmo, então vamos seguir!

Agora, vamos escrever os três números restantes que encontramos como coeficientes de uma expressão do 2º grau:

1 x 2 - 3 x + 1

Essa expressão é o polinômio que estávamos procurando e podemos reescrever nossa equação como:

x - 1 x 2 - 3 x + 1 = 0

Portanto, nossas soluções serão:

x - 1 = 0         o u         x 2 - 3 x + 1

O resultado da primeira parte, já conhecemos:

x = 1

Para a segunda, como temos uma equação do 2º grau, vamos usar a fórmula de Bhaskara:

x = - b ± ∆ 2 a

Beleza?!

Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o a , b e c . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui

a x 2 + b x + c = 0

Então, comparando com a nossa equação

x 2 - 3 x + 1 = 0

Conseguimos encontrar os valores de a , b e c :

a = 1

b = - 3

c = 1

Beleza?! Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o :

∆ = b 2 - 4 a c

Substituindo os valores a = 1 , b = - 3 e c = 1 , temos

∆ = - 3 2 - 4 1 1

Fazendo as continhas, temos

∆ = 9 - 4

∆ = 5

Passo 3

Agora podemos substituir o valor de ∆ = 5 e os demais valores na fórmula de Bhaskara:

x = - - 3 ± 5 2 1

x = 3 ± 5 2

Teremos então duas raízes:

x 1 = 3 + 5 2

E

x 2 = 3 - 5 2

Então, as soluções para nossa equação são x 1 = 1   ,   x 2 = 3 + 5 2   e   x 3 = 3 - 5 2 .

Resposta

x 1 = 1   ,   x 2 = 3 + 5 2   e   x 3 = 3 - 5 2 .