Exercícios Resolvidos de Equações de Graus Maiores

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Enunciado

Resolva a equação abaixo (em R ) usando as substituições indicadas. Observe o domínio de cada variável e teste as soluções encontradas.

2 x 2 / 3 - 5 x 1 / 3 - 3 = 0 u = x 1 / 3

Passo 1

OK, vamos começar verificando o domínio. Temos aqui uma raiz cubica, então não há restrição para o domínio. Teremos então:

D = x ∈ R

Passo 2

Legal, agora vamos aplicar a substituição. Temos que:

2 x 2 / 3 - 5 x 1 / 3 - 3 = 0

2 x 1 / 3 2 - 5 x 1 / 3 - 3 = 0

Então, para a substituição desejada ( u = x 1 / 3 ):

2 u 2 - 5 u - 3 = 0

Passo 3

Então temos uma equação de segundo grau:

2 u 2 - 5 u - 3 = 0

Na forma: a u 2 + b u + c = 0

Com:

a = 2 b = - 5 c = - 3

Que, por Bhaskara, tem solução:

u = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores: u = 5 ± - 5 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ - 3 2 ⋅ 2

u = 5 ± 25 + 24 4 = 5 ± 49 4 = 5 ± 7 4

Assim, para cada sinal:

u 1 = 5 + 7 4 = 12 4 = 3

u 2 = 5 - 7 4 = - 2 4 = - 1 2

Passo 4

Beleza, achamos u , mas queremos x . Então, para isso, usamos a definição:

u = x 1 / 3

Assim, para cada caso:

x 1 / 3 = 3

Elevando ao cubo agora:

x 1 / 3 3 = 3 3

x 3 / 3 = 27

x = 27

Agora, para o outro valor:

x 1 / 3 = - 1 2

Assim, elevando ao cubo:

x = - 1 2 3 = - 1 8

Passo 5

Agora resta testar os dois candidatos à solução, para isso, vamos substituir na equação:

2 x 2 / 3 - 5 x 1 / 3 - 3 = 0

Para x = 27 :

2 27 2 / 3 - 5 27 1 / 3 - 3 = 0

Temos que:

27 1 / 3 = 27 3 = 3

Além disso:

27 2 / 3 = 27 3 2 = 3 2 = 9

Assim, teremos:

2 27 2 / 3 - 5 27 1 / 3 - 3 = 0

2 ⋅ 9 - 5 ⋅ 3 - 3 = 0

18 - 15 - 3 = 0

0 = 0

Echa! x = 27 é solução!

Para x = - 1 / 8 :

2 - 1 / 8 2 / 3 - 5 - 1 / 8 1 / 3 - 3 = 0

2 ⋅ 1 4 - 5 ⋅ - 1 2 - 3 = 0

1 2 + 5 2 - 3 = 0

0 = 0

Opa, então x = - 1 / 8 também é solução!

S = - 1 8 , 27

Resposta

S = - 1 8 , 27