Exercícios Resolvidos de Equações de Graus Maiores

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Enunciado

Quais são as raízes da equação de quarto grau abaixo?

x 4 - 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 4 = 0

Passo 1

Opaaaaa! Queremos encontrar as raízes dessa equação de quarto grau, certo? Para isso, utilizaremos o processo de Briot-Ruffini! Com ele conseguiremos reduzir o grau do nosso polinômio até chegar numa equação que conseguimos resolver!!

Para usá-lo, precisamos conhecer pelo menos uma raiz da expressão que queremos reduzir o grau. Nesse caso, vamos testar alguns valores de x e ver se damos sorte:

Vamos primeiro testar x = 0

x 4 - 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 4 = 0

Substituindo o valor, temos

0 4 - 2 0 3 - 3 0 2 + 4 0 + 4 = 0

4 = 0

Opa, essa igualdade não é verdade! 4 ≠ 0 . Logo, x = 0 não é raíz dessa equação!

Vamos testar x = - 1 x 4 - 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 4 = 0

Substituindo o valor, temos

- 1 4 - 2 - 1 3 - 3 - 1 2 + 4 - 1 + 4 = 0

1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0

0 = 0

Opaaaaa, com x = 1 , nossa expressão zerou, o que significa que a igualdade será válida e - 1 é uma raiz da nossa equação.

Passo 2

Agora sim, vamos a Briot Ruffini!! Com esse método vamos reescrever nossa equação como uma multiplicação de ( x - r ) , onde esse r é a raiz que conhecemos, vezes um outro polinômio de grau menor. No nosso caso, teremos:

x - 1 . a l g u m   o u t r o   p o l i n o m i o = 0

Beleza?! Então vamos lá! Primeira coisa que faremos é armar o quadro:

Na parte superior esquerda, colocamos a raiz que já conhecemos, no caso, 1 :

Na parte superior direita, colocamos os coeficientes da expressão que queremos reduzir:

x 4 - 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 4 = 0

Agora, vamos repetir o primeiro coeficiente da parte superior direita na parte de baixo:

E multiplicar o número que desceu pela raiz conhecida:

Agora, some o resultado com o segundo coeficiente à direita

e coloque o resultado logo abaixo deste:

Beleza?!

Agora vamos repetir o processo até chegar no último coeficiente:

Agora o resultado da multiplicação somamos com o terceiro coeficiente à direita

E colocaremos o resultado logo abaixo deste:

Continuando utilizando o mesmo raciocínio...

Fazendo a multiplicação, temos

O resultado somamos com o quarto coeficiente à direita

E colocaremos o resultado logo abaixo deste:

Pra encerrar...

Fazendo a multiplicação, temos

O resultado somamos com o quinto coeficiente à direita

E colocaremos o resultado logo abaixo deste:

O último termo do resultado é o resto, mas como o resto é zero, não precisamos nos preocupar com ele. Fica tranquilo que a ideia aqui é sempre encontrarmos zero mesmo, então vamos seguir!

Agora, vamos escrever os três números restantes que encontramos como coeficientes de uma expressão do 2º grau:

x 3 - 3 x 2 + 0 x + 4

Que é a mesma coisa que

x 3 - 3 x 2 + 4

Beleza... Tínhamos uma equação do 4º grau, achamos uma das raízes que é x = - 1 e ao utilizar Briot Ruffini conseguimos reduzir para uma equação do 3º grau. E agora??

Passo 3

Agora nós utilizaremos novamente Briot Ruffini na equação do terceiro grau

x 3 - 3 x 2 + 4 = 0

Assim, precisamos conhecer pelo menos uma raiz da expressão que queremos reduzir o grau. Nesse caso, vamos testar novamente alguns valores de x e ver se damos sorte.

Vamos testar novamente o x = - 1 :

x 3 - 3 x 2 + 4 = 0

Substituindo os valores

- 1 3 - 3 - 1 2 + 4 = 0

- 1 - 3 + 4 = 0

OPAAAAA! De cara já encontramos uma raíz da equação de terceiro grau. O x = - 1 também é raíz dessa equação!

Agora podemos montar o quadrinho e utilizar novamente Briot Ruffini:

Ao repetir o processo, achamos a equação

x 2 - 4 x + 4 = 0

Show de bola?!

Passo 4

Tá acabando!! Agora só falta encontrarmos as raízes da equação

x 2 - 4 x + 4 = 0

Como temos uma equação do 2º grau, vamos usar a fórmula de Bhaskara:

x = - b ± ∆ 2 a

Beleza?!

Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o a , b e c . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui

a x 2 + b x + c = 0

Então, comparando com a nossa equação

x 2 - 3 x + 1 = 0

Conseguimos encontrar os valores de a , b e c :

a = 1

b = - 4

c = 4

Beleza?! Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o :

∆ = b 2 - 4 a c

Substituindo os valores a = 1 , b = - 4 e c = 4 , temos

∆ = - 4 2 - 4 1 4

Fazendo as continhas, temos

∆ = 16 - 16

∆ = 0

Passo 5

Agora podemos substituir o valor de ∆ = 5 e os demais valores na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± ∆ 2 a

x = - - 4 ± 0 2 1

x = 4 2 = 2

Encontramos a raíz então x = 2 para a equação do segundo grau.

Então, as soluções para nossa equação são x 1 = - 1   e     x 2 = 2 .

Resposta

x 1 = - 1   e     x 2 = 2