Exercícios Resolvidos de Equações de Graus Maiores

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Enunciado

  1. Um valor de k para que a equação x 4 - 4 x 3 + 4 x 2 = k possua exatamente 4 raízes reais distintas é:

A 1 2

B - 1 2

C - 1

D 1

E 2

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui nós temos uma equação e precisamos achar o valor de k para que ela possua 4 raízes.

Para resolver esse problema, vamos considerar a seguinte função

f x = x 4 - 4 x 3 + 4 x 2 - k

A partir daí vamos analisar o crescecimento e descrescimento da função para depois garantir que ela possua 4 raízes.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar achar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde

f ' x = 0

Combinamos de trabalhar com essa função

f x = x 4 - 4 x 3 + 4 x 2 - k

Calculando f ' x

f ' x = 4 x x 2 - 3 x + 2

Agora vamos igualar a zero para encontrar os pontos de máximo e mínimo

f ' x = 4 x x 2 - 3 x + 2 = 0

Logo,

x 1 = 0

x 2 = 1

x 3 = 2

Agora vamos analisar o seu crescimento e descrescimento!

Passo 3

Para entender o comportamento da função, vamos montar a seguinte tabela,

Com isso, temos que a função é decrescente para x < 0 e 1 < x < 2 . E crescente para 0 < x < 1 e 2 < x .

Logo, temos um mínimo local em x = 0 e x = 2 e um máximo local em x = 1 .

Calculando o valor da função nestes pontos, temos que

f 0 = 0 4 - 4 0 3 + 4 0 2 - k = - k

f 1 = 1 4 - 4 1 3 + 4 1 2 - k = 1 - k

f 2 = 2 4 - 4 2 3 + 4 2 2 - k = - k

Passo 4

Para termos exatamente 4 raízes reais, precisamos que

f 0 = f 2 = - k < 0

Garantindo uma única raiz entre - ∞ e 0 .

E também precisamos que

f 1 = 1 - k > 0

Garantindo uma únia raiz entre 0 e 1 .

Outra raiz entre 1 e 2 e uma ultima entre 2 e + ∞ .

Isso nos dá

k > 0

E

k < 1

Das opções do enunciado a única que atende essas condições é k = 1 2 , referente a letra A.

Prontinho!

Resposta

Letra A