Exercícios Resolvidos de Equações de Graus Maiores

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Enunciado

Resolva a equação abaixo (em R ) usando as substituições indicadas. Observe o domínio de cada variável e teste as soluções encontradas.

x 4 - 4 x 2 = 21 u = x 2

Passo 1

OK, vamos começar verificando o domínio. Como temos uma equação polinomial, o domínio será todo R , então:

D = x ∈ R

Passo 2

Legal, agora vamos aplicar a substituição. Temos que:

x 4 - 4 x 2 = 21

x 2 2 - 4 ⋅ x 2 = 2 1

Então, para a substituição desejada ( u = x 2 ):

u 2 - 4 u = 21

Passo 3

Agora, isolando tudo de um lado, temos uma equação de segundo grau:

u 2 - 4 u - 21 = 0

Na forma: a u 2 + b u + c = 0

Com:

a = 1 b = - 4 c = - 21

Que, por Bhaskara, tem solução:

u = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores: u = 4 ± - 4 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 21 2 ⋅ 1

u = 4 ± 16 + 84 2 = 4 ± 100 2 = 4 ± 10 2

Assim, para cada sinal:

u 1 = 4 + 10 2 = 14 2 = 7

u 2 = 4 - 10 2 = - 6 2 = - 3

Passo 4

Beleza, achamos u , mas queremos x . Então, para isso, usamos a definição:

u = x 2

Assim, para cada caso:

x 2 = 7

x = ± 7

Agora, vamos ter que:

x 2 = - 3

OPA! Temos um número ao quadrado que dá um valor negativo. Sempre vale repetir: número ao quadrado dando valor negativo?

Assim, descartamos esse valor para u .

Passo 5

Agora, resta testar os dois candidatos a solução.

x 4 - 4 x 2 = 21

7 4 - 4 7 2 = 21

49 - 4 ⋅ 7 = 21

49 - 28 = 21

21 = 21

Então é solução, para x = - 7 , segue a mesma ideia:

- 7 4 - 4 - 7 2 = 21

49 - 28 = 21

21 = 21

Logo, também é solução.

Assim, nossas soluções serão:

S = + 7 , - 7

Pronto!

Resposta

S = + 7 , - 7