Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Enunciado

Assinale a alternativa em que conjunto S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V .

Assinale a alternativa correta:

a) S = { f   ϵ   F   R , R : f t ≥ 0 para todo t   ϵ   R } e V = F   ( R , R ) é o espaço vetorial de todas as funções f : R → R ;

b) S = a b c d   ϵ   M 2 R : a d = 0   e   V = M 2 ( R )

c) S = x , y , z   ϵ   R 3 : x - 2 y + z = 3   e   V = R 3 ;

d) S = A   ϵ   M 3 R : A t = 2 A   e   V = M 3 ( R ) em que A t denota a transposta de matriz A ;

e) S = p   ϵ   P 4 R : p   1 = 1   e   V = P 4 ( R )

Passo 1

Fala aí gente boa, beleza? Bora pra cima da questão! Nela, a gente tem que analisar uma afirmativa em cada item, e a partir disso provar a que realmente o conjunto S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V . Opa, olha que coisa interessante: precisamos garantir que S seja um subespaço vetorial. Para isso acontecer, S tem que me garantir duas coisas:

A primeira é que ele precisa ser fechado em si mesmo. Isso significa que: sempre que eu somar dois vetores que estão dentro de S , eu preciso achar um outro vetor que também está dentro de S .

A segunda é que se eu multiplicar qualquer vetor desse espaço vetorial por um escalar qualquer, eu preciso achar um outro vetor ainda dentro do espaço vetorial. Ou seja, tudo está dentro da família, em qualquer combinação (soma ou multiplicação) dos próprios vetores. Belezinha, vamo começar a analisar as afirmações.

Passo 2

A primeira afirmativa é:

a) S = { f   ϵ   F   R , R : f t ≥ 0 para todo t   ϵ   R } e V = F   ( R , R ) é o espaço vetorial de todas as funções f : R → R ;

Mas gente, isso a gente pode provar que essa afirmativa é falsa. Porque, lembra da segunda condição para S ser um subespaço vetorial? A gente deve multiplicar qualquer escalar para os vetores de S e isso ainda nos entregar um novo vetor que ainda está dentro de S . Vamos entender quem é S definido aí na afirmativa? Ele é justamente qualquer função pertencente aos reais:

f ( t )

Para todo f t ≥ 0 . Eu devo conseguir multiplicar qualquer escalar com os vetores de S e ainda assim esse novo vetor estar dentro das condições de S , certo? Sendo assim, vou multiplicar esse f ( t ) por um escalar α = - 1 . Dessa forma:

α ⋅ f t = - f ( t )

Mas, isso acaba de quebrar a regra de S , pois esse vetor só está dentro de S se f t ≥ 0 . Portanto, S não se caracteriza como um subespaço vetorial, portanto a ) é falsa. Bora de next!

Passo 3

Show show, aqui no item b), ele nos fala que:

S = a b c d   ϵ   M 2 R : a d = 0   e   V = M 2 ( R )

Traduzindo: Ele nos afirma que S é um subespaço vetorial caracterizado por uma matriz 2 X 2 genérica de formato:

a b c d

No qual esses elementos da matriz pertencem aos números reais, de forma que sempre que eu multiplicar os elementos a e d , vou ter um produto igual a 0 . Bora checar se isso é um espaço vetorial mesmo. Vamos testar com a regra da soma que eu explanei pra vocês no passo 1. Vou assumir uma matriz qualquer que pertença a S , da seguinte forma:

a b c 0 ϵ   S     (I)

Ela pertence a S pois a ⋅ d = 0 , já que d nessa matriz tá assumindo o valor 0 . Vamos chamar ela de matriz I . Agora, vamos definir uma matriz I I de formato:

0 b c d ϵ   S     (II)

Ela pertence a S pois a ⋅ d = 0 , já que a nessa matriz tá assumindo o valor 0 . Agora, se a gente somar essas matrizes, a gente ainda deveria ter uma matriz no qual a ⋅ d = 0 , não é mesmo? Bora ver se isso acontece. Somando I com I I :

a b c 0 + 0 b c d = a 2 b 2 c d

Mas essa matriz não pertence a S , pois a ⋅ d ≠ 0 . Provando assim que S não se caracteriza como um subespaço vetorial, e, portanto, a afirmativa b ) é falsa! Vamos atrás da próxima afirmativa.

Passo 4

A afirmativa c ) nos fala que:

S = x , y , z   ϵ   R 3 : x - 2 y + z = 3   e   V = R 3 ;

Mas será mesmo? Vamo lá então provar sagazmente. Aqui vamos usar a segunda condição para S ser de fato um subespaço vetorial. Se tomarmos a constante α (um escalar qualquer que vou multiplicar o meu vetor), e essa constante α for nula, significa que a condição do subespaço deve satisfazer:

x , y , z ,   t a l   q u e   α x , y , z = ( 0,0 , 0 )

Esse é justamente o vetor nulo. Vamos aplicar então esses valores que ( x , y , z ) assumiu ao ser multiplicado por α pra ver se essa condição de S satisfaz o vetor nulo?

x - 2 y + z = 3

Para

x = 0

y = 0

z = 0

Temos: 0 - 2 ⋅ 0 + 0 = 3

0 = 3

Mas pera, isso não faz sentido.

Logo, o vetor nulo não está presente no conjunto S , portanto não é caracterizado como subespaço vetorial, logo, a afirmativa c ) é falsa!

Passo 5

Belezura minha rapaziada, vamos atrás da afirmativa d) agora. Ela nos diz que:

S = A   ϵ   M 3 R : A t = 2 A   e   V = M 3 ( R ) em que A t denota a transposta de matriz A ;

Isso se traduz em: Existe um subespaço vetorial S no qual as matrizes A que formam S , assumem formato 3 X 3 e sua transposta A t é igual a 2 A .

Será mesmo? Vamos testar com base nas condições lá do passo 1. Primeiro, testando a condição de soma, vamos pegar uma matriz B   ϵ   S e D   ϵ   S . Ao somarmos ela, temos:

A = B + D

E a condição que garante existência no subespaço de S é que A t = 2 A . Então substituindo:

A t = 2 A

B + D t = B T + D T

B T + D T = 2 B + 2 D

2 B + 2 D = 2 ( B + D )

2 B + D = 2 A

Logo,

B + D t = 2 ( B + D )

Ou,

A T = 2 A

Passando assim no teste da soma. Show, vamos testar agora a multiplicação.

Passo 6

Para o teste da multiplicação, precisamos adotar um α   ϵ   R , tal que:

α   A t = α ⋅ 2 ⋅ A

Vamos testar pegando a mesma matriz B do passo anterior. Assumindo então que A = α B , e que, para A = B ϵ   S , logo:

( α B ) t = α ⋅ B t

α ⋅ B t = α ⋅ 2 ⋅ B

α ⋅ 2 ⋅ B = 2   ( α B )

Mas, α B = A , logo:

( A ) t = 2   A

Provando assim mais uma vez respeitar a condição imposta por S . Logo S é sim um subespaço vetorial. Além disso, como S já denota matrizes de formato M 3 ( R ) , então S também é um subespaço vetorial do espaço vetorial V , já que respeita a condição imposta por V :

V = M 3 ( R )

Sendo assim, a alternativa d) a verdadeira! Mas calma que não acabou, ainda falta o item e). Vamos investigar ele?

Passo 7

A afirmativa e ) denota pra gente o seguinte:

S = p   ϵ   P 4 R : p   1 = 1   e   V = P 4 R

Será se é verdade? Vamos provar ela com o mesmo princípio que provamos que a letra c ) é falsa, o princípio do vetor nulo. Se S não conter o vetor nulo para um p   ϵ   P 4 R : p 1 = 1 (que significa que para polinômio de grau menor ou igual a 4 , ao aplicarmos p ( 1 ) , ele tem que me retornar 1 . Porém no caso do vetor nulo:

P 4 t = a t 4 + b t 3 + c t 2 + d t + e

No qual:

a = b = c = d = e = 0

Temos que:

P 4 t = 0

Mas, a questão falou que:

p 1 = 1

Vamos testar isso? Veja que:

P 4 1 = 0

O polinômio ainda continua sendo igual a 0. Isso significa que acabamos de quebrar uma regra para o suposto subespaço vetorial de S , que é:

p 1 = 1 ≠ P 4 1 = 0

Portanto, afirmativa falsa!

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

Única verdadeira: item d)

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