Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Enunciado

Considere o plano Π = 1,1 , 2,0 + t - 1,2 , - 1,2 + s 1,1 , 1,1 ⊂ R 4 . Determine:

a   Quatro pontos distintos de Π

b   Se 2,5 , 3,4 ∈ Π

c   Se 1,1 , 3,3 ∈ Π

Passo 1

Letra ( a )

Bom, como se trata da equação paramétrica de um plano, basta estipularmos valores para seus parâmetros para conseguirmos os pontos.

Para t = s = 0 :

1,1 , 2,0

Para t = 0 ,   s = 1 :

2,2 , 3,1

Para t = 1 , s = 0 :

0,3 , 1,2

Para t = s = 1 :

( 1,4 , 2,3 )

Tranquila essa.

Passo 2

Letra ( b )

Para verificar se um ponto pertence ao plano, basta igualar a parametrização do plano:

2,5 , 3,4 = 1,1 , 2,0 + t - 1,2 , - 1,2 + s 1,1 , 1,1 ⇒

2 = 1 - t + s ⇒ s - t = 1 5 = 1 + 2 t + s ⇒ 2 t + s = 4 3 = 2 - t + s ⇒ s - t = 1 4 = 2 t + s ⇒ s + 2 t = 4

Como temos duas equações repetidas, vamos descartá-las:

s - t = 1 ⇒ s = 1 + t ⇒ s = 2 s + 2 t = 4 ⇒ 1 + t + 2 t = 4 ⇒ 3 t = 3 ⇒ t = 1

Sendo assim, como achamos valores reais para nossos coeficientes podemos dizer que o ponto pertence ao plano para t = 1 , s = 2 .

Passo 3

Letra ( c )

Vamos seguir o mesmo procedimento da letra ( b )

1,1 , 3,3 = 1,1 , 2,0 + t - 1,2 , - 1,2 + s 1,1 , 1,1 ⇒

1 = 1 - t + s ⇒ s - t = 0 1 = 1 + 2 t + s ⇒ 2 t + s = 0 3 = 2 - t + s ⇒ s - t = 1 3 = 2 t + s

Percebe só, que achamos dois pares de equações diferentes? Duas equações não podem ter valores diferentes! Sendo assim, o sistema não tem solução. Se está em dúvida tente fazer os cálculos para achar s , t e depois não se esqueça de substituir os valores em TODAS as equações, e não somente as que você usou para achar tais valores.

Resposta

a   1,1 , 2,0 , 2,2 , 3,1 , 0,3 , 1,2 , ( 1,4 , 2,3 )

b   Sim, para t = 1 , s = 2

c   Não pertence

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