Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Enunciado

Determine um espaço de geradores do R 2 para U , dado:

U = { ( x ,   y ,   z ,   t ) ∈ R 4 | x - y + z + t = 0   e - x + 3 y + z - 2 t = 0 }

Passo 1

As condições para que um vetor de R 4 pertença a U são:

x - y + z + t = 0 - x + 3 y + z - 2 t = 0

Substituindo a equação de baixo pela soma das duas equações e a de cima pela subtração (isso vai sumir algumas variáveis e facilitar nossa vida hehe):

2 x - 4 y + 3 t = 0 2 y + 2 z - t = 0

O enunciado quer um espaço de geradores do R 2 , ou seja, um espaço com 2 vetores, então, entre x , y , z e t teremos duas variáveis fixas e duas livres beleza?

Passo 2

Isolando x na equação de cima (você pode isolar as variáveis que você quiser)

x = 4 y - 3 t 2

Isolando z na equação de baixo:

z = - 2 y + t 2

Passo 3

Então um vetor ( x ,   y ,   z ,   t ) de U pode ser escrito assim:

x ,   y ,   z ,   t = 4 y - 3 t 2 ,   y ,   - 2 y + t 2 ,   t

Boa, temos duas variáveis fixas e duas livres, igual queríamos.

Vamos separar os y ' s dos t ' s para encontrarmos os geradores:

x ,   y ,   z ,   t = 4 y 2 ,   y ,   - 2 y 2 ,   0 + - 3 t 2 ,   0 ,   t 2 ,   t

Tirando pra fora o y e t :

x ,   y ,   z ,   t = y 4 2 ,   1 ,   - 2 2 ,   0 + t - 3 2 ,   0 ,   1 2 ,   1

x ,   y ,   z ,   t = y 2 ,   1 ,   - 1 ,   0 + t - 3 2 ,   0 ,   1 2 ,   1

Então, S = 2 ,   1 ,   - 1 ,   0 ,   - 3 2 ,   0 ,   1 2 ,   1 é um conjunto gerador para U .

Obs: se lá no passo 2 você resolver isolar outras variáveis, sua resposta pode dar diferente, isso porque um espaço não possui apenas um conjunto gerador, ele possui vários, então não se preocupa que não necessariamente sua resposta ta errada se estiver diferente :)

Resposta

S = 2 ,   1 ,   - 1 ,   0 ,   - 3 2 ,   0 ,   1 2 ,   1 (um dos geradores possíveis, tendo x e z como variáveis dependentes)

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