Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Enunciado

Prove que o conjunto S = { 1 ,   0 ,   1 ,   1 } gera o espaço vetorial R 2 .

Passo 1

Para provarmos que o espaço R 2 é gerado por S , temos que mostrar que qualquer vetor do R 2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S beleza?

Ou seja, supondo um vetor genérico de R 2 : v = ( a ,   b ) . Ele pode ser escrito assim:

a ,   b = α 1 ,   0 + β ( 1 ,   1 )

Que é a mesma coisa que

a ,   b = α ,   0 + ( β ,   β )

a ,   b = α + β ,   β

Passo 2

Igualando as coordenadas, temos:

a = α + β

b = β

Substituindo b = β na equação de cima:

a - b = α

Ou seja, essa igualdade é totalmente possível hehe pra que um vetor ( a , b ) de R 2 seja escrito como combinação linear dos vetores de S , basta que α = a - b e β = b .

Por exemplo, se quisermos escrever o vetor ( 2 ,   6 ) , basta que α = - 4 e β = 6 , assim:

2 ,   6 = - 4 1 ,   0 + 6 ( 1 ,   1 )

Resposta

Demonstração.

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