Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Enunciado

Seja A = 1 - 1 - 1 0 2 0 1 3 1 0 2 0 4 2 4 0 2 6 1 - 3

(a) Determine uma base para o espaço nulo de A.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

A questão nos pediu para calcular a base para o espaço nulo da matriz A .

Pra isso, vamos utilizar uma equaçãozinha que vai nos dar um conjunto de vetores. Com isso, o resultado esperado para esta questão será o espaço gerado pela combinação linear desses vetores.

Entendeu? Não é um bicho de 7 cabeças, mas pode ser um pouco trabalhoso. Bora lá!

Para calcular uma base para o espaço nulo de A , vamos relembrar o que é espaço nulo.

Espaço nulo de uma matriz A é o conjunto de soluções que satisfaz essa equação aqui:

A · x → = 0 →

Ou seja, o produto da matriz A com um vetor x → resulta no vetor nulo 0 → , a ideia é encontrar o vetor x → que satisfaça essa equação.

Passo 2

Escrevendo a equação A · x → = 0 → na forma matricial, temos

1 - 1 - 1 0 2 0 1 3 1 0 2 0 4 2 4 0 2 6 1 - 3   x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 0 0 0 0

Observe que o número de variáveis do vetor x → deve ser igual o número de colunas da matriz A

Ok? mão na massa!

Vamos escalonar a matriz A na sua forma reduzida

1 - 1 - 1 0 2 0 1 3 1 0 2 0 4 2 4 0 2 6 1 - 3 0 0 0 0 L 3 → L 3 - 2 L 1

1 - 1 - 1 0 2 0 1 3 1 0 0 2 6 2 0 0 2 6 1 - 3 0 0 0 0 L 1 → L 1 + L 2 L 3 → L 3 - 2 L 2 L 4 → L 4 - 2 L 2

1 0 2 1 2 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 - 3 0 0 0 0

Reorganizando a matriz

1 0 2 1 2 0 1 3 1 0 0 0 0 - 1 - 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L 1 → L 1 + L 3 L 2 → L 2 + L 3 L 3 → - L 3

1 0 2 0 - 1 0 1 3 0 - 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Com isso, temos o seguinte sistema

x → = x 1 + 2 x 3 - x 5 = 0 x 2 + 3 x 3 - 3 x 5 = 0 x 3 = x 3 x 4 + 3 x 5 = 0 x 5 = x 5 → x → = x 1 = x 5 - 2 x 3 x 2 = 3 x 5 - 3 x 3 x 3 = x 3 x 4 = - 3 x 5 x 5 = x 5

Passo 3

Vemos que tem duas variáveis que são independentes das outras variáveis, que são x 3 e x 5 . E as outras variáveis estão descritas em função dessas duas. Por causa disso, vamos definir v 1 e v 2 como:

v 1 = 0,0 , 1,0 , 0 e v 2 = 0,0 , 0,0 , 1

A partir do sistema resultante que achamos no passo 2, vamos calcular a base do vetor com os “valores canônicos” de v 1 e v 2

Substituindo v 1 no vetor x → vamos ter o vetor x 1 → , onde

x 1 → = x 1 = 0 - 2 · 1 x 2 = 0 - 3 · 1 x 3 = 1 x 4 = 0 x 5 = 0 → x 1 → = x 1 = - 2 x 2 = - 3 x 3 = 1 x 4 = 0 x 5 = 0

Fazendo o mesmo com o vetor v 2 , x 2 → será

x 2 → = x 1 = 1 - 0 x 2 = 3 · 1 - 0 x 3 = 0 x 4 = - 3 · 1 x 5 = 1 → x 2 → = x 1 = 1 x 2 = 3 x 3 = 0 x 4 = - 3 x 5 = 1

Logo, a base para o espaço nulo de A , é dado pelos vetores

x 1 → = - 2 , - 3,1 , 0,0

e

x 2 → = 1,3 , 0 , - 3,1

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

O espaço gerado pela combinação linear de x 1 → = - 2 , - 3,1 , 0,0 e x 2 → = 1,3 , 0 , - 3,1 .

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