Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Enunciado

Prove que o conjunto S = { 1 ,   2 } gera U = { ( x ,   y ) ∈ R 2 | y = 2 x } .

Passo 1

Antes de tudo, pelas condições de U , temos que um vetor dele pode ser escrito como

x ,   y = ( x ,   2 x )

Beleza, agora temos que provar que qualquer vetor de U é múltiplo do vetor de S

Pelo vetor genérico de U : v = ( x ,   2 x ) , temos que mostrar que ele pode ser escrito assim:

x ,   2 x = α 1 ,   2

x ,   2 x = 1 α ,   2 α

Passo 2

Igualando as coordenadas, temos:

x = α

2 x = 2 α

Se substituirmos x = α na equação de baixo, teremos 2 α = 2 α , o que é verdadeiro né? Hahaha então de fato, qualquer vetor de U pode ser escrito como múltiplo do vetor de S .

Isso também pode ser visto por lógica, porque olha: todo vetor de U é do formato ( x ,   2 x ) , com a segunda coordenada sendo o dobro da primeira, assim como o vetor de S .

Então se tivermos por exemplo o vetor ( 5 ,   10 ) ∈ U , ele pode ser escrito como

5 ,   10 = 5 ( 1 ,   2 )

Tendeu? :)

Resposta

Demonstração.

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