Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

Ver Teoria

Enunciado

Determine se:

a   1,2 , 3,5 ∈ s p a n 1,2 , 3,4

b   - 1,0 , 0 ∈ 2,1 , 1 , 3,1 , 1

c   - 1,0 , 2 ∈ 2,1 , 1 , 3,1 , 1

d   R 3 =   s p a n 0,1 , 0 , 1,0 , 1 , 0,0 , 1

e   s p a n 2,1 , 2   = 2 , - 1,2

Passo 1

Na letra ( a ) , temos o espaço gerado s p a n 1 , 2,3 , 4 , que é gerado por todas as combinações lineares de 1,2 , 3,4 , ou seja, todos os seus múltiplos! Mas o 1 , 2,3 , 5 não é múltiplo de 1,2 , 3,4 , pois não pode ser escrito na forma k , 2 k , 3 k , 4 k . Logo ele não pertence ao espaço gerado, e a afirmativa é falsa.

Passo 2

Na ( b ) , é só você ver se o - 1 , 0,0 é combinação linear dos outros (lembre-se que s p a n   é a mesma coisa que   ) Assim:

- 1,0 , 0 = a 2,1 , 1 + b ( 3,1 , 1 )

- 1,0 , 0 = ( 2 a + 3 b , a + b , a + b )

Igualando:

2 a + 3 b = - 1

a + b = 0

a + b = 0

As duas últimas equações são iguais! Então é só fazer a = - b e substituir, aí temos:

2 - b + 3 b = - 1

b = - 1

Se b = - 1 , então a = 1 . Então temos:

- 1,0 , 0 = 1 ∙ 2,1 , 1 + - 1 ∙ ( 3,1 , 1 )

Como de fato ( - 1 , 0,0 ) é combinação linear dos outros dois, então ele pertence ao espaço gerado por eles e a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

A ( c ) é quase igual à ( b ) , então vamos fazer a mesma coisa:

- 1,0 , 2 = a 2,1 , 1 + b ( 3,1 , 1 )

- 1,0 , 2 = ( 2 a + 3 b , a + b , a + b )

Igualando:

2 a + 3 b = - 1

a + b = 0

a + b = 2

Iiiiih! A segunda e a terceira equação se contradizem! Isso quer dizer que o ( - 1 , 0,2 ) não é combinação linear dos outros! Assim, ele também não pertence ao espaço gerado, e a afirmativa é falsa.

Passo 4

Letra ( d )

Bom, pela localização dos zeros podemos ver que nenhum vetor é combinação linear um do outro. E como também possuem três coordenadas formam uma base para o R 3 . Assim, a afirmativa é verdadeira

Passo 5

e Para o espaço gerado por ( 2 , 1,2 ) ser igual ao espaço gerado por ( 2 , - 1,2 ) eles devem ter as mesmas combinações lineares, logo os mesmos múltiplos. Assim, eles devem ser múltiplos um do outro! E como eles não são múltiplos um do outro, a afirmativa é falsa.

Resposta

F, V, F, V, F

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A 4 0 - 1 3 6 2 0 - 1 4 - 2 3 5
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A - 3 6 2 5 - 4 0 2 13 8 - 1 3 - 1 2 5
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A 2 3 - 1 4 1 2
Construa uma matriz cujo espaço nulo consista em todas as combinações lineares dos vetores v 1 =1 - 132 e v 2 =20 - 24
Suponha que x 1 = - 1 , x 2 = 2 , x 3 = 4 , x 4 = - 3 seja uma solução de um sistema linear não homogêneo A x = b e que o conjunto solução do sistema homogêneo A x = 0 seja dado pela fórmulas x 1 = -