Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 24 – Prob 1.15

Determine se:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 1

Na letra Equation , temos o espaço gerado Equation , que é gerado por todas as combinações lineares de Equation , ou seja, todos os seus múltiplos! Mas o Equation não é múltiplo de Equation , pois não pode ser escrito na forma Equation . Logo ele não pertence ao espaço gerado, e a afirmativa é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na Equation , é só você ver se o Equation é combinação linear dos outros (lembre-se que Equation é a mesma coisa que Equation Assim:

Equation

Equation

Igualando:

Equation

Equation

Equation

As duas últimas equações são iguais! Então é só fazer Equation e substituir, aí temos:

Equation

Equation

Se Equation , então Equation . Então temos:

Equation

Como de fato Equation é combinação linear dos outros dois, então ele pertence ao espaço gerado por eles e a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

A Equation é quase igual à Equation , então vamos fazer a mesma coisa:

Equation

Equation

Igualando:

Equation

Equation

Equation

Iiiiih! A segunda e a terceira equação se contradizem! Isso quer dizer que o Equation não é combinação linear dos outros! Assim, ele também não pertence ao espaço gerado, e a afirmativa é falsa.

Passo 4

Letra Equation

Bom, pela localização dos zeros podemos ver que nenhum vetor é combinação linear um do outro. E como também possuem três coordenadas formam uma base para o Equation . Assim, a afirmativa é verdadeira

Passo 5

Equation Para o espaço gerado por Equation ser igual ao espaço gerado por Equation eles devem ter as mesmas combinações lineares, logo os mesmos múltiplos. Assim, eles devem ser múltiplos um do outro! E como eles não são múltiplos um do outro, a afirmativa é falsa.

Resposta

F, V, F, V, F

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