Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Enunciado

Seja o plano Π ⊂ R 3 , tal que sua equação paramétrica é:

1,0 , 0 + t - 1,1 , 0 + s - 1,0 , 1 ,   ∀ t , s ∈ R

Decida se é Verdadeiro ou Falso e justifique:

  • A reta gerada pelo vetor 1 , 1,1 intersecta Π
  • 0,0 , 0 ∈ Π
  • 2 , - 2,1 ∈ Π
  • Se v ∈ Π , então λ ∙ v ∈ Π para todo λ ∈ R

Passo 1

Vamos começar pela primeira bolinha: a reta gerada pelo vetor 1 , 1,1 intersecta Π ?

Bom, sabemos que uma reta é gerada por todos os múltiplos (ou C L ’s ) do seu vetor diretor. Então, poderiamos escrevê-la como:

k 1,1 , 1 , ∀ k ∈ R

Passo 2

Agora basta igualar as equações paramétricas:

k 1,1 , 1 = 1,0 , 0 + t - 1,1 , 0 + s - 1,0 , 1 ⇒

k , k , k = - t - s + 1 , t , s ⇒

k = - t - s + 1   ( I ) k = t   ( I I ) k = s   ( I I I )

Passo 3

Pela ( I I ) e ( I I I ) , podemos ver que t = s = k , assim vamos substituir na ( I ) !

k = - k - k + 1 ⇒

3 k = 1 ⇒

k = 1 3

Logo, k = t = s = 1 3 . Assim, podemos ver que a reta gerada pelo vetor ( 1 , 1,1 ) intersecta o plano Π , quando t = s = 1 3 e k = 1 3 . Então, o primeiro item é VERDADEIRO.

Passo 4

A segunda é muito fácil! Sem fazer contas você já consegue visualizar que o plano é deslocado pelo vetor ( 1 , 0,0 ) , assim ele não está na origem. Então este item é FALSO. Qualquer dúvida, tente igualar o vetor nulo a equação paramétrica do plano e achar se existem t , s ∈ R ... você verá que não existe!

Passo 5

Para a terceira afirmação, vamos seguir a mesma ideia do primeiro item, ou o que você faria no item anterior se tivesse com dúvida.

2 , - 2,1 = - t - s + 1 , t , s ⇒

- t - s + 1 = 2 t = - 2 s = 1

Agora basta substituir na primeira equação e verificamos que:

- - 2 - 1 + 1 = 2

Então, de fato, o vetor pertence ao plano. Logo, o terceiro item é VERDADEIRO.

Passo 6

Este último item é um pouco mais difícil, tenho que admitir. De imediato você pensaria que a resposta é verdadeiro, né? Porque a noção de pertencer ao plano que todos nós temos é esta aqui:

Entretanto, não é sempre isso que acontece. Lembra do vetor deslocamento?

Perceba que se o vetor deslocamento “esticar” um pouco, ele vai “furar” o plano, por causa de um simples detalhe: o vetor não é a flecha inteira, apenas a pontinha da flecha! Mudou sua vida não, rs? Quando descobri isso, a minha mudou.

Não ta acreditando? Tente esticar o vetor deslocamento. Por exemplo, multiplique por 2 e resolva o sistema!

O mesmo podemos aplicar para o vetor ( 2 , - 2,1 ) : tente multiplicá-lo por 2 e ver se pertence ao plano (você verá que não). Logo, o item é FALSO.

Resposta

V, F, V, F

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