Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Enunciado

Sejam u → ,   v →   ∈ R n e G   =   u → ,   v → , o conjunto gerado por   u →   e v → . Seja g → um elemento de G . Considere as afirmativas:

I -   k g →   ∈   G para todo k ∈ R

II - Se w →   =   ( 1 ,   0 ,   ·   ·   ·   ,   0 )   +   g → então necessariamente w → ∈ G

(a) Ambas são falsas

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) I é verdadeira e II é falsa

(d) Ambas são verdadeiras

Passo 1

Afirmativa ( I ) : k g →   ∈   G para todo k ∈ R

Essa afirmativa é verdadeira, todos os múltiplos de um vetor pertencente a um espaço também pertencem a esse espaço. Isso acontece porque se g → é uma combinação linear de u →   e v → , k g → também vai ser.

g →   ∈   G ⟹ k g →   ∈   G

Afirmativa I I : Se w →   =   ( 1 ,   0 ,   ·   ·   ·   ,   0 )   +   g → então necessariamente w → ∈ G

Agora as coisas são um pouco diferentes. w →   só vai pertencer a G se ele for uma combinação linear dos vetores que geram G .

Já sabemos que g → pertence ao espaço, então bastava fazer a C L   com outro vetor de G que formasse um conjunto L I .  

No caso essa afirmativa está me dizendo que esse vetor é ( 1 ,   0 ,   ·   ·   ·   ,   0 )   mas não tenho como afirmar que ele pertence ao meu espaço, logo a afirmativa está incorreta.

Resposta

c

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