Exercícios Resolvidos de Fatoração LU

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 410, exercício 5.

Calcule a fatoração L U das seguintes matrizes:

a 2 - 1 1 3 3 9 3 3 5

b 1.012 - 2.132 3.104 - 2.132 4.096 - 7.013 3.104 - 7.013 0.014

c 2 0 0 0 1 1.5 0 0 0 - 3 0.5 0 2 - 2 1 1

Passo 1

a Para obtermos a fatoração L U precisamos aplicar a eliminação de Gauss e guardar os multiplicadores. Por enquanto temos que:

L = 1 0 0 m 21 1 0 m 31 m 32 1

U = * * * 0 * * 0 0 *

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a Eliminação de Gauss:

2 - 1 1 3 3 9 3 3 5

L 2 ← L 2 - 3 2 L 1 m 21 = 3 2 :

2 - 1 1 0 4.5 7.5 3 3 5

L 3 ← L 3 - 3 2 L 1 m 31 = 3 2 :

2 - 1 1 0 4.5 7.5 0 4.5 3.5

L 3 ← L 3 - L 2 m 32 = 1 :

2 - 1 1 0 4.5 7.5 0 0 - 4

Passo 3

Ou seja, temos que:

L = 1 0 0 1.5 1 0 1.5 1 1 ; U = 2 - 1 1 0 4.5 7.5 0 0 - 4

Passo 4

b Para obtermos a fatoração L U precisamos aplicar a eliminação de Gauss e guardar os multiplicadores. Por enquanto temos que:

L = 1 0 0 m 21 1 0 m 31 m 32 1

U = * * * 0 * * 0 0 *

Passo 5

Aplicando a Eliminação de Gauss:

1.012 - 2.132 3.104 - 2.132 4.096 - 7.013 3.104 - 7.013 0.014

L 2 ← L 2 - - 2.107 L 1 m 21 = - 2.107 :

1.012 - 2.132 3.104 0 - 0.396 - 0.474 3.104 - 7.013 0.014

L 3 ← L 3 - 3.067 L 1 m 31 = 3.067 :

1.012 - 2.132 3.104 0 - 0.396 - 0.474 0 - 0.474 - 9.507

L 3 ← L 3 - 1.198 L 2 m 32 = 1.198 :

1.012 - 2.132 3.104 0 - 0.396 - 0.474 0 0 - 8.939

Passo 6

Ou seja, temos que:

L = 1 0 0 - 2.107 1 0 3.067 1.198 1 ; U = 1.012 - 2.132 3.104 0 - 0.396 - 0.474 0 0 - 8.939

Passo 7

c Para obtermos a fatoração L U precisamos aplicar a eliminação de Gauss e guardar os multiplicadores. Por enquanto temos que:

L = 1 0 0 0 m 21 1 0 0 m 31 m 32 1 0 m 41 m 42 m 43 1

U = * * * * 0 * * * 0 0 * * 0 0 0 *

Passo 8

Aplicando a Eliminação de Gauss:

2 0 0 0 1 1.5 0 0 0 - 3 0.5 0 2 - 2 1 1

L 2 ← L 2 - 0.5 L 1 m 21 = 0.5 :

2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 - 3 0.5 0 2 - 2 1 1

L 4 ← L 4 - L 1 m 4 1 = 1 :

2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 - 3 0.5 0 0 - 2 1 1

L 3 ← L 3 - - 2 L 2 m 32 = - 2 :

2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0.5 0 0 - 2 1 1

L 4 ← L 4 - - 4 3 L 2 m 4 2 = - 4 3 :

2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0.5 0 0 0 1 1

L 4 ← L 4 - 2 L 2 m 43 = 2 :

2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 1

Passo 9

Ou seja, temos que:

L = 1 0 0 0 0.5 1 0 0 0 - 2 1 0 1 - 4 3 2 1 ; U = 2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 1

Resposta

a L = 1 0 0 1.5 1 0 1.5 1 1 ; U = 2 - 1 1 0 4.5 7.5 0 0 - 4  

b L = 1 0 0 - 2.107 1 0 3.067 1.198 1 ; U = 1.012 - 2.132 3.104 0 - 0.396 - 0.474 0 0 - 8.939

c   L = 1 0 0 0 0.5 1 0 0 0 - 2 1 0 1 - 4 3 2 1 ; U = 2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 1

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