Exercícios Resolvidos de Fatoração LU

Ver Teoria

Enunciado

1) Se A , uma matriz tridiagonal:

A = b 1 c 1 0 a 2 b 2 c 2 ⋱ ⋱ ⋱ a n - 1 b n - 1 c n - 1 o a n b n

Que possui decomposição L U (sem trocas de linhas) da forma abaixo:

L = 1 0 l 2 1 ⋱ ⋱ 0 l n 1 e U = u 1 c 1 0 ⋱ ⋱ u n - 1 c n - 1 0 u n

a) Escreva um algoritmo para calcular l i , 2 ≤ i ≤ n e u i ,   1 ≤ i ≤ n .

b) Escreva também um algoritmo para a resolução de um sistema linear A x = b conhecendo-se a decomposição L U acima.

Passo 1

Falaaa... beleza???

Agora, pra resolver a letra b, vamos escrever um algoritmo pra resolver o sistema linear A x = b a partir da decomposição L U .

Pra resolver um sistema a partir da decomposição   L U fazemos:

A x = b → L U x = b

Chamamos U x = y .

Resolvemos primeiro:

L y = b

E depois

U x = y

Passo 2

Como já temos L e U , então, resolvendo primeiro:

L y = b

1 0 l 2 1 ⋱ ⋱ 0 l n 1 y 1 y 2 ⋮ y n = w 1 w 2 ⋮ w n

Resolvendo esse sistema:

y 1 = w 1

y 2 = w 2 - l 2 w 1

y n = w n - l n w n - 1

Passo 3

Agora resolvendo:

U x = y

u 1 c 1 0 ⋱ ⋱ u n - 1 c n - 1 0 u n x 1 x 2 ⋮ x n = w 1 w 2 - l 2 w 1 ⋮ w n - l n w n - 1 n

Resolvendo:

x n = ( w n - l n w n - 1 n ) / u n

x 2 = ( w 2 - l 2 w 1 - c 2 ) / u 2

x 1 = ( w 1 - c 1 ) / u 1

Resposta

x n = ( w n - l n w n - 1 n ) / u n

x 2 = ( w 2 - l 2 w 1 - c 2 ) / u 2

x 1 = ( w 1 - c 1 ) / u 1

Exercícios de Livros Relacionados

O vetor p que armazena a informação sobre as permutações realzadas durante a fatoração LU pode ser construído como p k = i , se na etapa k a linha i da matriz A ( k - 1 ) for escolhida como a linha pi
Se A = L D U , como fica a resolução de A x = b ?
Mostre que, se A é matriz não singular e A = L U , então A = L D U → , onde D é matriz diagonal U → matriz triangular superior com diagonal unitária.
Mostre que se A é uma matriz simétrica e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D U implica U = L t (transposta de L ).
Mostre que se A é uma matriz simétrica, positiva definida e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D L t onde os elementos diagonais de D são todos positivos.