Exercícios Resolvidos de Fatoração LU

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 409, exercício 1.

Resolva os seguintes sistemas lineares:

a 1 0 0 2 1 0 - 1 0 1 2 3 - 1 0 - 2 1 0 0 3 x 1 x 2 x 3 = 2 - 1 1

b 2 0 0 - 1 1 0 3 2 - 1 1 1 1 0 1 2 0 0 1 x 1 x 2 x 3 = - 1 3 0

Passo 1

a Vamos dividir esse sistema em 2 :

I   1 0 0 2 1 0 - 1 0 1 y 1 y 2 y 3 = 2 - 1 1

I I   2 3 - 1 0 - 2 1 0 0 3 x 1 x 2 x 3 = y 1 y 2 y 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo o sistema I :

1 0 0 2 1 0 - 1 0 1 y 1 y 2 y 3 = 2 - 1 1

y 1 = 2

2 2 + y 2 = - 1

y 2 = - 5

- 2 + y 3 = 1

y 3 = 3

Passo 3

Resolvendo o sistema I I :

2 3 - 1 0 - 2 1 0 0 3 x 1 x 2 x 3 = 2 - 5 3

3 x 3 = 3

x 3 = 1

- 2 x 2 + 1 = - 5

x 2 = 3

2 x 1 + 3 3 - 1 = 2

x 1 = - 3

Então a solução do sistema é x 1 , x 2 , x 3 = - 3 , 3,1 .

Passo 4

b Novamente, dividimos esse sistema em 2 :

I   2 0 0 - 1 1 0 3 2 - 1 y 1 y 2 y 3 = - 1 3 0

I I   1 1 1 0 1 2 0 0 1 x 1 x 2 x 3 = y 1 y 2 y 3

Passo 5

Resolvendo o sistema I :

2 0 0 - 1 1 0 3 2 - 1 y 1 y 2 y 3 = - 1 3 0

2 y 1 = - 1

y 1 = - 1 2

1 2 + y 2 = 3

y 2 = 5 2

- 3 2 + 5 - y 3 = 0

y 3 = 7 2

Passo 6

Resolvendo o sistema I I :

1 1 1 0 1 2 0 0 1 x 1 x 2 x 3 = - 0.5 2.5 3.5

x 3 = 3.5

x 2 + 7 = 2.5

x 2 = - 4.5

x 1 - 4.5 + 3.5 = - 0.5

x 1 = 0.5

Então a solução do sistema é x 1 , x 2 , x 3 = 0.5 , - 4.5,3.5 .

Resposta

a   x 1 , x 2 , x 3 = - 3,3 , 1

b x 1 , x 2 , x 3 = 0.5 , - 4.5,3.5

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