Exercícios Resolvidos de Fatoração LU

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Enunciado

1) Se A , uma matriz tridiagonal:

A = b 1 c 1 0 a 2 b 2 c 2 ⋱ ⋱ ⋱ a n - 1 b n - 1 c n - 1 o a n b n

Que possui decomposição L U (sem trocas de linhas) da forma abaixo:

L = 1 0 l 2 1 ⋱ ⋱ 0 l n 1 e U = u 1 c 1 0 ⋱ ⋱ u n - 1 c n - 1 0 u n

a) Escreva um algoritmo para calcular l i , 2 ≤ i ≤ n e u i ,   1 ≤ i ≤ n .

b) Escreva também um algoritmo para a resolução de um sistema linear A x = b conhecendo-se a decomposição L U acima.

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos escrever um algoritmo para a decomposição L U .

Passo 2

Escrever passo aqui

Passo 3

Escrever passo aqui

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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O vetor p que armazena a informação sobre as permutações realzadas durante a fatoração LU pode ser construído como p k = i , se na etapa k a linha i da matriz A ( k - 1 ) for escolhida como a linha pi
Se A = L D U , como fica a resolução de A x = b ?
Mostre que, se A é matriz não singular e A = L U , então A = L D U → , onde D é matriz diagonal U → matriz triangular superior com diagonal unitária.
Mostre que se A é uma matriz simétrica e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D U implica U = L t (transposta de L ).
Mostre que se A é uma matriz simétrica, positiva definida e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D L t onde os elementos diagonais de D são todos positivos.