Exercícios Resolvidos de Fatoração LU

Lista 4 – Professora Suzana – Questão 6

Resolva o seguinte sistema A x = b usando decomposição L U , sendo

A = 1 - 4 1 1

i b = 2 1 T

i i b = 1 - 1 T

Passo 1

Vamos começar decompondo A :

1 - 4 1 1

L 2 L 2 - L 1   m 21 = 1 :

1 - 4 0 5

Então temos:

L = 1 0 1 1 ; U = 1 - 4 0 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

i Precisamos resolver o sistema:

1 0 1 1 1 - 4 0 5 x 1 x 2 = 2 1

Resolvendo L y = b :

1 0 1 1 y 1 y 2 = 2 1

y 1 = 2

2 + y 2 = 1

y 2 = - 1

Agora resolvemos U x = y :

1 - 4 0 5 x 1 x 2 = 2 - 1

5 x 2 = - 1

x 2 = - 0.2

x 1 + 0.8 = 2

x 1 = 1.2

Então a solução é x 1 , x 2 = 1.2 , - 0.2 .

Passo 3

i i Agora queremos resolver:

1 0 1 1 1 - 4 0 5 x 1 x 2 = 1 - 1

Repare que a decomposição continua a mesma, só trocamos o vetor b !

Resolvendo L y = b :

1 0 1 1 y 1 y 2 = 1 - 1

y 1 = 1

1 + y 2 = - 1

y 2 = - 2

Agora resolvemos U x = y :

1 - 4 0 5 x 1 x 2 = 1 - 2

5 x 2 = - 2

x 2 = - 0 . 4

x 1 + 1.6 = 1

x 1 = - 0.6

Então a solução é x 1 , x 2 = - 0.6 , - 0.4 .

Resposta

a x 1 , x 2 = 1.2 , - 0.2

b x 1 , x 2 = - 0.6 , - 0.4

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