Lista de Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Um átomo de hidrogênio é constituído por um próton com carga + Q = 1,60   ×   10 - 19   C e um elétron com carga – Q = - 1,6   ×   10 - 19   C . Podemos considerar o próton como uma carga puntiforme situada em r = 0 , o centro do átomo. O movimento do elétron faz com que sua carga seja ‘espalhada’ ao longo de uma distribuição esférica em torno do próton, de modo que o elétron seja equivalente a uma carga por unidade de volume dada por

ρ r = - Q π a 0 3 e - 2 r a 0     ,

em que a 0 = 5,29   ×   10 - 11   m é chamado de raio de Bohr.

  1. Calcule a carga total do átomo de hidrogênio contida em uma esfera de raio r centralizada sobre o próton;
  2. Como fica a carga quando r → ∞ ? Explique o resultado obtido nesse limite.

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A Figura abaixo mostra uma semicircunferência de raio a com uma carga positiva Q distribuída conforme a seguinte densidade linear λ θ = λ 0 s e n ( θ ) , com λ 0 sendo uma constante. Nessas circunstâncias, qual é a carga total da semicircunferência?

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Uma esfera centrada na origem tem raio R e a seguinte distribuição de cargas em seu volume:

ρ = A r 2

Onde A é uma constante negativa. Calcule a carga contida no interior de uma superfície esférica imaginária centrada na origem com raio R 0 , se:

  1. R 0 ≥ R
  2. R 0 < R

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Uma barra não condutora possui comprimento L = 14,3   c m e carga q = - 1,35   μ C distribuída uniformemente. Quanto vale a densidade linear de carga λ dessa barra?

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Um disco de raio b de espessura desprezível tem um furo circular em seu centro. Dado que o raio do furo é a e o disco possui densidade de carga superficial igual a:

σ = C r 2 ,     r > 0

Com C tendo unidades de carga. Calcule a carga total do disco.

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Observe a figura abaixo:

Dado que esse anel tem raio a , digamos que a densidade de carga linear dele seja:

λ = λ 0 sen ⁡ ( θ )

Onde θ é o ângulo trigonométrico, medido à partir do eixo O x no sentido anti-horário e λ 0 é uma constante arbitrária. A questão é: qual a carga total do anel?

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Dado um disco de raio R com a seguinte distribuição de cargas superficiais:

σ r = k   r 2

Qual a carga total?

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Seja uma esfera de raio R e densidade de cargas dada pela expressão

ρ r = k 0 r 2

Calcule a carga total na esfera.

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Um anel circular, fino, de raio R , está disposto no plano X Y , com centro na origem. Nele, há uma densidade linear de carga λ θ = λ 0 sen ⁡ θ , onde θ é o tradicional ângulo polar e λ 0 é uma constante. Qual é a carga total de tal anel?

  1. 0
  2. λ 0 R
  3. π λ 0 R 2
  4. 2 π λ 0 R
  5. 4 λ 0 R

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Temos três distribuições não homogêneas de carga: I1) uma distribuição linear num fio de comprimento R , cuja densidade linear de carga é: λ x = α 1 x ( 0 ≤ x ≤ R ); (2) Uma distribuição superficial sobre um disco de raio R , cuja densidade superficial é: σ r = α 2 r ( 0 ≤ r ≤ R ); (3) Uma distribuição volumétrica numa esfera de raio R , cuja densidade volumétrica é: ρ r = α 3 r ( 0 ≤ r ≤ R ). Aqui, α i ( i = 1 , 2 , 3 ) são constantes. A carga total de cada uma dessas três distribuições é a mesma, Q . Qual das alternativas é a correta?

  1. α 1 = 2 Q R 2 ; α 2 = 3 Q 2 π R 3 ; α 3 = Q π R 4
  2. α 1 = Q 2 R 2 ; α 2 = Q 6 π R 3 ; α 3 = Q 16 π R 4
  3. α 1 = 2 Q R 2 ; α 2 = Q 6 π R 3 ; α 3 = Q 16 π R 4
  4. α 1 = 2 Q R 2 ; α 2 = 3 Q 2 2 π R 3 ; α 3 = Q 3 π R 4
  5. α 1 = Q 2 R 2 ; α 2 = Q 2 6 π R 3 ; α 3 = Q 3 16 π R 4
  6. α 1 = Q R ; α 2 = Q π R 2 ; α 3 = Q 4 π R 3 3

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Duas placas isolantes muito grandes e de espessura desprezível são colocadas paralelamente uma em relação a outra, como mostrado na Figura 1. Na placa à direita, há uma distribuição superficial uniforme de cargas positiva. Na placa à esquerda, a distribuição de cargas é também uniforme, porém de densidade superficial igual e oposta à da direita. A distância entre as placas vale d e existe o vácuo entre as duas. Tomando a placa à esquerda (na posição x   =   0 ) como o referencial para o potencial ( V = 0 ) , mede-se que, sobre a placa à direita ( x   =   d ) , o potencial tem valor   V 0 .

a) Calcule a densidade superficial de cargas, σ , da placa isolante positiva em função de V 0 .

b) O sinal de V 0 é positivo ou negativo? Justifique.

Suponha agora que uma placa condutora neutra de espessura d / 2 seja colocada na região entre as duas placas isolantes, como mostrado na Figura 2. Nesta nova configuração:

c) Calcule os valores do potencial em   x   =   0 ,   x   = d 4 ,   x   = 3 d 4   e   x   =   d e faça um gráfico do potencial V ( x ) em função da distância para 0   <   x   <   d .

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A velocidade de migração de elétrons em um fio condutor é 9,5 × 10 - 4 m / s , a densidade de elétrons é 9,5 × 10 28 e l é t r o n s / m 3 e a resistividade é 1,7 × 10 - 8 Ω . m . Nessas condições, quanto vale a intensidade do campo elétrico no condutor, em 10 - 3 V / m ? Se necessário use e = 1,6 × 10 - 19 C .

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Uma casca esférica condutora de raio interno R 1 = 10 c m e raio externo R 2 = 15 c m é carregada com uma carga liquida positiva Q 0 = 10 - 5 C . No interior da casca é posicionada uma pequena esfera condutora, de raio R A = 2,5 c m , carregada com a mesma carga Q 0 . Considere que V = 0 no infinito e que k = 10 10 N m 2 / C 2

  1. Determine as expressões do potencial elétrico V   nas regiões:
    1. r = 2 R 2
    2. R 1 < r < R 2
  2. Se uma carga igual a - 2 Q 0 é transportada do infinito até ser depositada na casca esférica, calcule (utilizando os valores fornecidos), nesta nova condição, quais são as densidades de carga superficiais σ na superfície da esfera de raio R A   ( σ A ) e nas superfícies internas σ i n t e externas ( σ e x t ) da casca esférica.

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Um isolante esférico de raio a tem carga total Q (positiva) e está envolvido por uma casca esférica concêntrica de raios   a e b , condutora em equilíbrio eletrostático. Não se sabe se a distribuição da carga no interior do isolante é uniforme ou não. A estrutura está imersa no vácuo (para r   >   b ) . O potencial elétrico em todos os pontos do espaço ( r   >   0 ) está caracterizado na Figura. Em particular, observam-se as dependências de V(r) com o raio r nos intervalos 0   <   r   <   a   [ V ( r )   =   V o   - α r 4 ] ; a   <   r   <   b ;   r   >   b e que V 0   =   V ( 0 ) .

a) Após determinar o valor de  em função de Q, a, b e ε o (considerando que o potencial é uma função contínua de r , obtenha expressões para o campo elétrico em todos os pontos do espaço).

b) Em seguida, determine as distribuições superficiais de carga (com sinais) nas superfícies interna (raio a ) e externa (raio b) da casca condutora. Calcule a carga líquida da casca condutora, se houver.

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Considere um bastão fino, retilíneo, situado no eixo x , entre x = 0 e x = L > 0 .

Havendo uma densidade linear de carga λ x = λ 0 sen ⁡ 3 π x / L , λ 0 = c o n s t . , em tal bastão, qual é a sua carga elétrica total?

a - 2 λ 0 L / ( 3 π ) .

b 2 λ 0 L / 3 .

c 2 λ 0 L / ( 3 π ) .

d - 2 λ 0 L / 3 .

e 0 .

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Uma casca esférica condutora de raio interno a e externo b é carregada com uma carga + Q . Além disso, uma carga pontual - 10 q é colocada no centro da casca esférica.

Qual é a densidade de carga na superfície externa da casca esférica?

a η = - 10 q / 4 π b 2

b η = - Q / 4 π b 2

c η = Q - 10 q / 4 π b 2

d η = Q + 10 q / 4 π b 2

e η = 10 q - Q / 4 π b 2

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A figura ao lado ilustra uma esfera oca condutora de raio interno a e raio externo b , que tem uma carga elétrica negativa - 3 Q . Uma carga pontual positiva + Q é fixada no centro da esfera oca. Na figura, r representa uma distância radial qualquer ao centro da esfera. Existe vácuo nas regiões r < a e r > b .

(a) Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) em todos os pontos do espaço, ou seja, nas regiões (i) r < a , (ii) a < r < b e (iii) r > b .

(b) Represente, em um desenho esquemático, um esboço das linhas de campo elétrico nas regiões r < a , a < r < b e r > b .

(c) Determine a densidade superficial de carga na (i) superfície interna da esfera oca ( r = a ) e na (ii) superfície externa da esfera oca ( r = b ).

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6 - Uma esfera condutora oca tem raios de 0,80 m e 1,20 m , como mostrado na figura. A esfera carrega um excesso de carga - 500   n C . Uma carga pontual de + 300   n C está presente no centro da cavidade interna à esfera. A densidade de carga superficial na superfície esférica interna vale

  1. Zero
  2. + 4,0 × 10 - 8   C / m 2
  3. + 5,9 × 10 - 8   C / m 2
  4. - 3,7 × 10 - 8   C / m 2
  5. - 6,1 × 10 - 8   C / m 2

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