Exercícios Resolvidos de Fórmula do Cisalhamento

Elaboração própria

Determine a tensão cisalhante máxima na seção sujeita ao esforço cortante mostrado abaixo. Todas as medidas estão em cm.

Passo 1

Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa fórmula a fim de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já sabemos de antemão que se trata da altura em que alcançamos o cisalhante admissível da nossa peça, que também já sabemos ser 80Mpa).

A nossa fórmula para cisalhamento é dada por

τ = Q . S I . B

Em que sabemos que

τ = tensão cisalhante

Q = esforço cortante

S = Momento Estático

I = Momento de Inércia

B = espessura do ponto que calculamos o cisalhante

Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula significa, vamos identificar cada um desses valores na nossa seção.

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Passo 2

Precisamos determinar primeiramente a linha neutra na nossa seção. Sabemos que para determinarmos a linha neutra precisamos primeiro definir uma linha de origem, que geralmente passamos pela base da nossa seção.

Em seguida dividimos a nossa seção em figuras mais simples

Agora vem a parte legal, para cada uma dessas seções mais simples calculamos o valor da área e a distancia do centroide de cada uma delas até a nossa linha de origem.

Agora para determinar a linha neutra basta usar a fórmula

Y = ∑ Y i A i ∑ A i = ( 0,12   .   2,2 + 0,72   .   1,2 + 0,15   .   0,69 ) 0,12 + 0,72 + 0,69 ≅ 0,80 m

Teremos que a linha neutra será marcada com relação a nossa origem

Sabemos também que o nosso cortante é dado no enunciado e sabemos que vale

Q = 9 50 K N

Passo 3

Precisamos definir agora o valor do nosso momento de inércia. Aqui devemos seguir um passo a passo como seguimos para determinação da linha neutra.

Vamos utilizar a mesma separação de figuras mais simples que usamos para determinação da linha neutra

Já sabemos quanto valem as áreas de cada seção, mas agora devemos calcular dois valores importantes. Primeiro o momento de inercia de cada uma das peças mais simples. Depois a distancia do centroide de cada peça até a linha neutra. Na figura abaixo já verificamos tanto as áreas quando as distâncias dos centroides até a linha neutra.

Vamos agora determinar o valor do momento de inercia para cada uma das peças. Sabemos que como todas são retângulos, a fórmula será

I = B . H 3 12

Olhando novamente as medidas teremos que

Logo

I v e r d e = 0,6.0,2 3 12 = 4.10 - 4 m 4

I l a r a n j a = 0,4.1,8 3 12 = 0,1944   m 4

I a z u l = 2,3.0,3 3 12 = 5,175.10 - 3 m 4

Com todos esses valores devemos usar a seguinte fórmula para determinarmos o momento de inercia da nossa seção

I = ∑ ( I i + A i   .     d i 2 )

Substituindo nossos valores teremos que

I = 4.10 - 4 + 0,12   .   1,4 2 + 0,1944 + 0,72.0,4 2 + 5,175.10 - 3 + 0,69   .   0,65 2

I = 0,8419 m 4

Passo 4

Agora vamos determinar o momento estático da nossa seção. Como no enunciado foi pedido o valor do cisalhante máximo, devemos fazer o calculo levando em consideração as fibras da seção que contem a linha neutra, nesse caso a seção que usamos a cor laranja, dessa forma também descobrimos que o valor da espessura de fibras usada no nosso cálculo será

B = 0,4   m

Mas também queremos determinar o momento estático, nesse caso devemos escolher a seção acima da linha neutra ou abaixo da linha neutra. Analisando a nossa seção, me parece mais simples fazer a conta analisando a parte de baixo da nossa seção, nesse caso pela nossa figura a nossa seção analisada será

Podemos ver que essa região marcada em baixo possui duas seções diferentes, uma azul e uma laranja, dessa forma, para calcularmos o momento estático total precisaremos determinar o momento estático de cada um desses trechos e soma-los. Mas como calculamos o momento estático?

A fórmula é dada por

S = ∑ A i   .   D i

Em que A i é a área de cada seção abaixo da linha neutra e D i a distancia do centroide de cada seção abaixo da linha neutra até a própria linha neutra. No esquema abaixo descobrimos que esses valores são os da figura

Agora basta substituir na fórmula os valores encontrados

S = 0,69   .   0,65 + 0,2   .   0,25 = 0,4985 m 3

Passo 5

Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa equação

τ = Q . S I . B

S = 0,4985 m 3

B = 0,4   m

I = 0,8419 m 4

Q = 95 0 K N

Substituindo teremos que

τ = 950   .   0,4985 0,8419   .   0 , 4 0

τ = 1406,27 K N m 2 = 1406,27 K p a = 1,41   M p a

Resposta

τ = 1,4 1   M p a

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