Exercícios Resolvidos de Fórmula do Cisalhamento

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 273-7.10.

Faça um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento distribuída na seção transversal da escora se ela for submetida a uma força de cisalhamento V = 15   k N .

Passo 1

O que está acontecendo?

Por causa da força cortante V = 15   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • & t (também conhecido como b ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

Além disso, como essa seção é simétrica em relação à horizontal, já sabemos que a sua linha neutra/centroide fica bem no seu meio:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente esboce um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento τ distribuída nessa seção.

Para fazer isso, devemos seguir os passos abaixo:

Sendo que no nosso caso, já conhecemos a posição da linha neutra, então podemos pular esse passo.

Aí, depois de aplicarmos a fórmula do cisalhamento τ = V Q / I t para cada fibra, vamos poder colocar os resultados para a tensão τ em um gráfico e conectar esses pontos, completando o gráfico pedido pelo exercício!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos lá!

Primeiro, precisamos fazer o cálculo do momento de inércia da área I para essa seção.

Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados:

Feito isso, calculamos:

  • o momento de inércia da área I i ;
  • a área A i ;
  • e a distância d i de seu centro até a linha neutra,

...para cada um desses elementos.

Todos os elementos são retangulares, então eles vão ter áreas A = b h e momentos I i dados pela fórmula:

I i = b h 3 12

Observando as dimensões fornecidas pelo exercício, vemos que para os elementos 1 e 3 , temos uma base b = 120   m m e uma altura h = 12   m m , de tal forma que:

I 1 = I 3 = 120 12 3 12 = 17   280   m m 4

&

A 1 = A 3 = 120 12 = 1440   m m 2

Já para o elemento 2 , temos uma base b = 80   m m e uma altura h = 60   m m , de tal forma que:

I 2 = 80 60 3 12 = 1   440   000   m m 4

&

A 2 = 80 60 = 4800   m m 2

Por fim, observando mais uma vez as dimensões fornecidas pelo exercício, encontramos as distâncias d 1 e d 3 dos centros dos elementos 1 e 3 à linha neutra:

E como o centro do elemento 2 já está na própria linha neutra, vamos ter que:

d 2 = 0

Feito tudo isso, podemos finalmente aplicar a fórmula:

I = ∑ I i + A i d i 2

...para determinar o momento de inércia da área I da nossa seção como um todo:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + ( I 3 + A 3 d 3 2 )

Como I 1 = I 3 , A 1 = A 3 e d 1 = d 3 , podemos re-escrever essa fórmula assim:

I = 2 I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

Finalmente, substituindo todos os valores disponíveis acima, encontramos que:

I = 5   207   040   m m 4

Ou então:

I = 5,207 * 10 6   m m 4

Passo 3

Agora, vamos identificar as fibras que nos interessam nessa viga, que são:

  • As fibras no topo e na base da seção;
  • As fibras nas regiões em que há uma mudança na geometria da seção;
  • & a fibra na linha neutra da seção.

Fazendo isso, devemos ter um desenho assim:

Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para facilitar já os nossos cálculos no próximo passo.

Passo 4

Identificadas as fibras, podemos calcular os momentos estáticos Q delas.

Nesse momento, vão nos ajudar as dicas que vimos na teoria:

Assim, para as fibras A e E , no topo e na base da seção, já sabemos que elas vão ser iguais à 0 :

Q A = Q E = 0

Em seguida, por simetria, podemos dizer que os momentos estáticos para as fibras B e D vão ser iguais:

Q B = Q D

Para calcular esses momentos estáticos, podemos escolher observar a região acima da fibra B .

Nessa região, vamos ter um único elemento retangular, de área A = 120 12 = 1440   m m 2 e com uma posição do centro em relação à linha neutra y - = 30 + 12 / 2 = 36   m m , de tal forma que:

Q B = Q D = ∑ A i y - i = 1440 36 = 51   840   m m 3

Por fim, para calcular o momento estático Q C , podemos observar a região acima da fibra C .

Nessa região, vamos ter:

  • O mesmo elemento retangular que havia na região acima da fibra B , para o qual A = 1440   m m 2 e y - = 36   m m ;
  • E um elemento retangular encostando na linha neutra, de base 80   m m e altura 30   m m , tendo assim uma área A = 80 30 = 2400   m m 2 e uma posição y - = 30 / 2 = 15   m m .

Dessa forma, temos que:

Q C = 1440 36 + 2400 15 = 87   840   m m 3

Passo 5

Por fim, podemos aplicar a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

...para cada fibra, tomando o cuidado de aplicar essa fórmula duas vezes para as fibras em que existem dois valores da largura t .

(Nesse caso, temos que tomar esse cuidado para as fibras B e D , onde há uma mudança na largura da seção.)

Começando pelas fibras A e E :

Como o momento estático Q para essas fibras é igual à 0 , vamos ter que:

τ A = τ E = 0

Já para as fibras B e D , temos:

τ B = τ D = V Q B I t = V Q D I t

Substituindo os valores:

  • V = 15   k N = 15000   N ;
  • Q B = Q D = 51840   m m 3 ;
  • I = 5,207 * 10 6   m m 4 ,

E utilizando o valor maior da largura t para essas fibras, t = 120   m m , encontramos que:

τ B = τ D = 15000   N 51840   m m 3 ( 5,207 * 10 6   m m 4 ) ( 120   m m )

Calculando tudo isso, vamos ter um resultado final em N / m m 2 ou M P a :

τ B = τ D = 1,24   M P a

Em seguida, utilizando o valor menor da largura t para essas fibras, t ' = 80   m m , encontramos que:

τ B ' = τ D ' = 15000   N 51840   m m 3 ( 5,207 * 10 6   m m 4 ) ( 80   m m )

O que dá:

τ B ' = τ D ' = 1,87   M P a

Por fim, para a fibra C , temos:

τ C = V Q C I t

E substituindo:

  • V = 15   k N = 15000   N ;
  • Q C = 87840   m m 3 ;
  • I = 5,207 * 10 6   m m 4 ,

E a largura da seção na região da fibra C , t = 80   m m , encontramos que:

τ C = 15000   N 87 840   m m 3 ( 5,207 * 10 6   m m 4 ) ( 80   m m ) = 3,16   M P a

Passo 6

Finalmente, inserindo os valores de tensão τ encontrados no passo anterior em um gráfico, e conectando esses pontos sabendo que:

  • A distribuição de tensões τ devido à força cortante V é parabólica;
  • E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra da seção.

Ficamos com o gráfico abaixo, que é a nossa resposta para o exercício:

Resposta

Ver gráfico acima.

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