Exercícios Resolvidos de Fórmula do Cisalhamento

Elaboração própria

Uma estrutura de madeira com perfil T mostrado baixo é submetida a ação de um cortante de intensidade V. Sabendo que a resistência dessa madeira ao cisalhamento é de τ a d m = 22   K p a , determine o máximo cortante que podemos aplicar nessa peça sem que ela sofra um rompimento.

Passo 1

Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa fórmula a fim de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já sabemos de antemão que se trata do cortante).

A nossa fórmula para cisalhamento é dada por

τ = Q . S I . B

Em que sabemos que

τ = tensão cisalhante

Q = esforço cortante

S = Momento Estático

I = Momento de Inércia

B = espessura do ponto que calculamos o cisalhante

Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula significa, vamos identificar cada um desses valores na nossa seção.

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Passo 2

Precisamos determinar primeiramente a linha neutra na nossa seção. Sabemos que para determinarmos a linha neutra precisamos primeiro definir uma linha de origem, que geralmente passamos pela base da nossa seção.

Em seguida dividimos a nossa seção em figuras mais simples

Agora vem a parte legal, para cada uma dessas seções mais simples calculamos o valor da área e a distância do centroide de cada uma delas até a nossa linha de origem.

Agora para determinar a linha neutra basta usar a fórmula

Y = ∑ Y i A i ∑ A i = ( 1700   .     70 + 1080   .     30 ) 1700 + 1080 ≅ 54,46   c m = 0,5446

Teremos que a linha neutra será marcada com relação a nossa origem

Passo 3

Precisamos definir agora o valor do nosso momento de inércia. Aqui devemos seguir um passo a passo como seguimos para determinação da linha neutra.

Vamos utilizar a mesma separação de figuras mais simples que usamos para determinação da linha neutra

Já sabemos quanto valem as áreas de cada seção, mas agora devemos calcular dois valores importantes. Primeiro o momento de inercia de cada uma das peças mais simples. Depois a distância do centroide de cada peça até a linha neutra. Na figura abaixo já verificamos tanto as áreas quanto as distâncias dos centroides até a linha neutra.

Vamos agora determinar o valor do momento de inercia para cada uma das peças. Sabemos que como todas são retângulos, a fórmula será

I = B . H 3 12

Olhando novamente as medidas teremos que

Logo

I 1 = 0 , 85   .   0,2 0 3 12 = 5,67   .     10 - 4 m 4

I 2 = 0 , 18   .   0,60 3 12 = 3,24   .   10 - 3   m 4

Com todos esses valores devemos usar a seguinte fórmula para determinarmos o momento de inercia da nossa seção

I = ∑ ( I i + A i   .     D i 2 )

Substituindo nossos valores teremos que

I = 5,67   .     10 - 4 + 0,1 7   .   ( 0,1554 ) 2 + 3,24   .   10 - 3 + 0 , 108   .   ( 0,2446 ) 2

I = 0 , 0144 m 4

Passo 4

Agora vamos determinar o momento estático da nossa seção. Como no enunciado foi pedido o valor do cisalhante máximo, devemos fazer o cálculo levando em consideração as fibras da seção que contem a linha neutra, nesse caso a seção 2, dessa forma também descobrimos que o valor da espessura de fibras usada no nosso cálculo será

B = 0 , 18   m

Mas também queremos determinar o momento estático, nesse caso devemos escolher a seção acima da linha neutra ou abaixo da linha neutra. Analisando a nossa seção, me parece mais simples fazer a conta analisando a parte de baixo da nossa seção, nesse caso pela nossa figura a nossa seção analisada será

Agora precisamos saber o que fazer com essa seção, a fórmula do momento estático é dada por

S = ∑ A i   .   D i

Em que A i é a área da seção abaixo da linha neutra e D i a distancia do centroide dessa seção abaixo da linha neutra até a própria linha neutra. No esquema abaixo descobrimos que esses valores são os da figura

Agora basta substituir na fórmula os valores encontrados

S = 0,09803   .     0,2723 = 0,0267 m 3

Passo 5

Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa equação

τ = Q . S I . B

S = 0,0267 m 3

B = 0 , 18   m

I = 0,0144 m 4

τ a d m = 22   K p a = 22 K N m 2

Substituindo teremos que

22 = Q   .     0,0267 0,0144   .   0,18

Q = 2,14   K N

Resposta

Q = 2,14   K N

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