Exercícios Resolvidos de Fórmula do Cisalhamento

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 272&273-7.6.

A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 11,2   M P a . Se for submetida a um cisalhamento V = 20   k N , determine a menor dimensão a de sua parte inferior e 1,5 a de seus lados.

Passo 1

O que está acontecendo?

A seção transversal dessa viga é retangular, com uma base b = a e uma altura h = 1,5 a .

Por causa da força cortante V = 20   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • & t (também conhecido como b ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

Aí, como a seção dessa viga é só um retângulo, já sabemos que a sua linha neutra/centroide fica bem no meio da seção:

Além disso:

  • O momento de inércia da área I é sempre uma constante;
  • E essa seção tem uma largura t = a constante.

Então o que vai determinar aonde vai ocorrer a tensão τ máxima nessa seção é o momento estático Q .

E nós vimos na nossa teoria que o momento estático é sempre máximo na linha neutra:

Assim, concluímos que a tensão máxima τ m á x nesse seção vai ocorre na sua linha neutra.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é o menor valor de a necessário para que a tensão de cisalhamento τ máxima nessa viga não ultrapasse o seu valor admissível τ a d m = 11,2   M P a .

Ou seja, ele quer saber qual é o menor valor de a que satisfaz a condição:

τ m á x ≤ τ a d m

Então, para resolver esse exercício...

Devemos determinar o valor de I para essa seção e depois determinar o valor do momento estático Q para a fibra na linha neutra.

Assim, vamos poder descrever a tensão τ m á x nessa seção em função da dimensão a .

Substituindo isso na condição τ m á x ≤ τ a d m acima, vamos poder isolar a e encontrar seu valor mínimo necessário.

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Passo 2

Então vamos começar pelo cálculo do momento de inércia da área para essa seção retangular.

Lembra aí!

O momento de inércia da área de um elemento retangular é dado pela fórmula:

I = b h 3 12

Daí que, substituindo os valores:

  • b = a ;
  • & h = 1,5 a ,

Encontramos que:

I = a 1,5 a 3 12

O que dá:

I = 0,28125 a 4

Beleza!

Passo 3

Em seguida, vamos determinar o valor do momento estático Q para a linha neutra, que é sempre o momento estático máximo em uma seção:

Q l i n h a   n e u t r a = Q m á x

Agora lembra aí!

Para determinar o valor do momento estático, devemos:

  • Observar somente a região acima OU abaixo da fibra;
  • Separar a região escolhida em elementos individuais;
  • Identificar, para cada elemento, a área A i e a posição y - i do seu centro em relação à linha neutra da seção;
  • E finalmente, aplicar a fórmula Q = ∑ A i y - i para a fibra em questão.

Fazendo isso para a fibra na linha neutra, e escolhendo observar a região acima dela, vamos ter um único elemento retangular, com a área A e posição y - indicadas na imagem abaixo:

Dessa forma, vamos ter que:

Q l i n h a   n e u t r a = Q m á x = ∑ A i y - i = ( 0,75 a 2 ) ( 0,375 a )

O que significa que:

Q m á x = 0,28125 a 3

E pronto!

Passo 4

Agora, podemos pegar a nossa condição de projeto:

τ m á x ≤ τ a d m

E aplicar a fórmula do cisalhamento com o objetivo de descrever a tensão máxima τ m á x nessa seção.

Fazendo isso, a nossa condição fica assim:

V Q m á x I t ≤ τ a d m

Substituindo I = 0,28125 a 4 , Q = 0,28125 a 3 e t = a , vamos ter que:

V 0,28125 a 3 0,28125 a 4 a ≤ τ a d m

Simplificando isso, temos:

V a 2 ≤ τ a d m

Isolando a 2 :

V τ a d m ≤ a 2

Espelhando essa expressão e fazendo a raíz quadrada dos dois lados:

a ≥ V τ a d m

E substituindo:

  • V = 20   k N = 20000   N ;
  • & τ a d m = 11,2   M P a = 11,2   N / m m 2 ,

Encontramos que:

a ≥ 20000   N 11,2   N / m m 2 = 42,26   m m

O que significa que o valor mínimo necessário para a dimensão a é:

Resposta

a = 42,26   m m

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