Exercícios Resolvidos de Fórmula do Cisalhamento

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 273-7.11.

Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento V = 75   k N , determine a tensão de cisalhamento máxima nele.

Dicas do Expert: Existem alguns conhecimentos adicionais importantes para resolver exercícios com uma seção circular como este.

São eles:

1. A tensão de cisalhamento máxima em seções transversais circulares (vazadas ou não) ocorre na linha neutra da seção;

2. Para o cálculo da posição da linha neutra, do momento de inércia da área e do momento estático, você pode considerar furos como elementos de área A i negativa e momento de inércia da área I i negativo;

& 3. A centroide de um semicírculo de raio R fica a uma distância 4 R / 3 π da base do semicírculo.

Passo 1

O que está acontecendo?

A seção transversal dessa viga tem a forma de um anel, com raio externo R e x t = 60   m m e raio interno R i n t = 50   m m .

Por causa da força cortante V = 75   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • & t (também conhecido como b ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

Além disso, como essa seção é simétrica em relação à horizontal, já podemos afirmar que a sua linha neutra fica bem no seu meio:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x nessa seção, que vai ocorrer na sua linha neutra.

Então, devemos encontrar:

  • O momento de inércia da área I dessa seção;
  • E o momento estático Q para a fibra na linha neutra.

Feito isso, vamos poder aplicar a fórmula do cisalhamento para a fibra na linha neutra “ L N ”, que vai ficar assim:

τ m á x = V Q L N I t

Sendo que a largura t da seção nessa fibra vai ser igual ao diâmetro externo de 120   m m menos o diâmetro interno de 100   m m .

Ou seja, t = 20   m m .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar calculando o momento de inércia da área I para essa seção.

Para tanto, devemos separar ela em elementos individuais.

Nesse caso, podemos considerar o círculo maior como um elemento e o círculo menor, que é um furo, como um elemento de área negativa e momento negativo:

Como ambos os elementos são circulares, os seus momentos de inércia da área individuais vão ser dados pela fórmula:

I i = π r 4 4

Assim, para o elemento 1 , de raio R e x t = 60   m m , vamos ter que:

I 1 = π 60 4 4 = 10,178 * 10 6   m m 4

Enquanto que para o elemento 2 , de área/momento negativo e de raio R i n t = 50   m m , temos:

I 2 = - π 50 4 4 = - 4,909 * 10 6   m m 4

Aí, como os dois elementos já estão centrados na linha neutra, não é necessário utilizar o teorema dos eixos paralelos I = I i + A i d i 2 .

Ao invés disso, podemos simplesmente somar os momentos de cada elemento para encontrarmos o valor do momento de inércia da área I da seção como um todo:

I = I 1 + I 2 = 10,178 * 10 6 - 4,909 * 10 6 = 5,269 * 10 6   m m 4

Passo 3

Em seguida, calculamos o momento estático Q para a fibra na linha neutra.

Para tanto, podemos escolher observar a região acima dessa fibra.

Fazendo isso, vamos ter dois elementos na forma de semicírculos.

O primeiro elemento, de raio R e x t = 60   m m , vai ter uma área positiva igual à metade da área de um círculo com esse raio:

A 1 = ( π R e x t 2 ) 2 = π 60 2 2 = 1800 π   m m 2

E um centro com uma posição y - 1 = 4 R e x t / 3 π :

Já o segundo elemento, de raio R i n t = 50   m m , vai ter uma área negativa igual à metade da área de um círculo come esse raio:

A 2 = - π R i n t 2 2 = - π 50 2 2 = - 1250 π   m m 2

E um centro com uma posição y - 2 = 4 R i n t / 3 π :

Dessa forma, o momento estático para a fibra na linha neutra vai ser:

Q L N = A i y - i = 1800 π 4 * 60 3 π + - 1250 π 4 * 50 3 π

O que dá:

Q L N = 60667   m m 3

Passo 4

Agora, só falta aplicar a fórmula do cisalhamento para o cálculo da tensão de cisalhamento máxima nessa seção, que ocorre na sua linha neutra.

Fazendo isso, temos:

τ m á x = V Q L N I t

Aí, substituindo:

  • V = 75   k N = 75000   N ;
  • Q L N = 60667   m m 3 ;
  • I = 5,269 * 10 6   m m 4 ;
  • & t = 20   m m ,

Vamos ter:

τ m á x = 75000   N 60667   m m 3 5,269 * 10 6   m m 4 20   m m

Calculando tudo e percebendo que o resultado final vai sair em N / m m 2 , que é o mesmo que M P a , encontramos que:

Resposta

τ m á x = 43,17   M P a

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