Exercícios Resolvidos de Fórmula do Cisalhamento

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 273-7.14.

Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical V = 60   k N , determine a tensão de cisalhamento máxima na viga. Calcule também o salto da tensão de cisalhamento na junção aba-alma A B . Trace um rascunho da variação da intensidade da tensão de cisalhamento em toda a seção transversal.

Passo 1

O que está acontecendo?

Por causa da força cortante V = 60   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • & t (também conhecido como b ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber:

  • A tensão de cisalhamento máxima nessa seção;
  • E o salto de tensão na junção aba-alma A B , que é a diferença entre a tensão nessa região para a aba de largura t = 300   m m e a tensão nessa região para a alma de largura t ' = 100   m m .

Para encontrar essas duas coisas, vamos ter que esboçar um gráfico para a distribuição da tensão τ nessa seção, que é a terceira coisa que o exercício pede.

Aí, para fazer isso, é só seguirmos os 5 passos abaixo:

Então vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a posição y - da linha neutra dessa seção.

Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados e definindo uma posição 0 na base da seção:

Em seguida, preenchemos em uma tabela os valores da área A i e da posição y - i do centro de cada elemento:

Ainda nessa tabela, também preenchemos na última coluna o produto desses valores para cada elemento e na última linha os somatórios ∑ A i e ∑ A i y - i .

Com isso, podemos aplicar a fórmula:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

E substituir os valores desses somatórios para encontrarmos a posição da nossa linha neutra:

y - = 5343750   m m 3 37500   m m 2 = 142,5   m m

Passo 3

Agora, já podemos calcular o momento de inércia da área I da nossa seção como um todo.

Para tanto, devemos calcular, para cada elemento numerado:

  • O momento de inércia da área I i ;
  • E a distância d i do centro do elemento até a linha neutra.

(Não precisamos calcular as áreas A i pois já calculamos elas no passo anterior.)

Como os nossos dois elementos são retangulares, eles vão momentos de inércia da área I i = b h 3 / 12 .

Para o elemento 1 , temos uma base b = 300   m m e uma altura h = 75   m m , então:

I 1 = 300 75 3 12 = 10   546   875   m m 4

Já para o elemento 2 , b = 100   m m e h = 150   m m , então:

I 2 = 100 150 3 12 = 28   125   000   m m 4

Em seguida, como o elemento 1 tem um centro a uma altura de 187,5   m m e como a linha neutra está a uma altura de 142,5   m m , a distância d 1 para o elemento 1 vai ser:

d 1 = 187,5 - 142,5 = 45   m m

Já o elemento 2 tem um centro a uma altura de 75   m m , de tal forma que:

d 2 = 142,5 - 75 = 67,5   m m

Finalmente, podemos aplicar a fórmula:

I = ∑ ( I i + A i d i 2 )

Que fica assim para o nosso caso com dois elementos:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

E substituir nessa fórmula:

  • I 1 = 10   546   875   m m 4 e I 2 = 28   125   000   m m 4 ;
  • A 1 = 22500   m m 2 e A 2 = 15000   m m 2 ; (Valores retirados da tabela do passo anterior)
  • & d 1 = 45   m m e d 2 = 67,5   m m ,

Para encontrarmos que o momento de inércia da área I da nossa seção como um todo é:

I = 152,578 * 10 6   m m 4

Passo 4

Próximo passo, identificar as fibras de interesse:

  • As fibras no topo e na base da seção;
  • As fibras onde ocorre uma mudança na largura da seção;
  • E a fibra na linha neutra.

Fazendo isso, ficamos com o desenho abaixo:

Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para já facilitar os cálculos do próximo passo.

Passo 5

Agora, devemos calcular os momentos estáticos Q .

Para as fibras A e D , podemos nos lembrar que os momentos estáticos das fibras no topo e na base de uma seção são iguais a zero, então:

Q A = Q D = 0

Para a fibra B , podemos escolher por observar a região acima dessa fibra.

Fazendo isso, vamos ter nessa região um único elemento retangular: o elemento 1 que definimos anteriormente.

Esse elemento tem uma área A 1 = 22500   m m 2 e um centro com uma posição relativa à linha neutra y - 1 = d 1 = 45   m m .

Dessa forma, temos que:

Q B = ∑ A i y - i = 22500 45 = 1012 500   m m 3

Já para a fibra C , é mais fácil escolher por observar a região abaixo desse fibra.

Nessa região, vamos ter um único elemento retangular encostado na linha neutra com uma altura de 142,5   m m e uma largura de 100   m m .

Dessa forma, esse elemento vai ter uma área A 1 = 142,5 100 e um centro com uma posição relativa à linha neutra y - 1 = 142,5 / 2 .

Sendo assim, temos:

Q C = ∑ A i y - i = 142,5 100 142,5 2 = 1015312,5   m m 3

Passo 6

Finalmente, já temos tudo que precisamos para aplicar a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

...para cada fibra.

Para as fibras A e D , como Q A = Q D = 0 , vamos ter que:

τ A = τ D = 0

Já para a fibra B , temos:

τ B = V Q B I t

Aí, como temos duas larguras t na região da fibra B ( t = 300   m m e t ' = 100   m m ), devemos aplicar essa fórmula duas vezes.

Primeiro, substituímos:

  • V = 60   k N = 60000   N ;
  • Q B = 1012500   m m 3 ;
  • I = 152,578 * 10 6   m m 4 ,

E a largura da aba, t = 300   m m :

τ B = 60000   N 1012500   m m 3 152,578 * 10 6   m m 4 300   m m

Calculando tudo, vamos ter um resultado final em N / m m 2 , que é o mesmo que M P a :

τ B = 1,33   N / m m 2 = 1,33   M P a

Em seguida, substituímos os mesmos valores, mas dessa vez utilizamos a largura da alma, t ' = 100   m m :

τ B ' = 60000   N 1012500   m m 3 152,578 * 10 6   m m 4 100   m m

Calculando tudo isso, encontramos que:

τ B ' = 3,98   M P a

Por fim, para a fibra C , temos:

τ C = V Q C I t

Aí, substituindo:

  • V = 60   k N = 60000   N ;
  • Q C = 1015312,5 ;
  • I = 152,578 * 10 6   m m 4 ;
  • E a largura da seção na região da fibra C , t = 100   m m ,

Encontramos que:

τ C = 3,99   M P a

Passo 7

Por fim, inserindo os valores de tensão τ encontrados no passo anterior em um gráfico, e conectando esses pontos sabendo que:

  • A distribuição de tensões τ devido à força cortante V é parabólica;
  • E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra da seção.

Ficamos com o gráfico abaixo, que faz parte da nossa resposta para o exercício:

Além disso, desse gráfico...

Conseguimos identificar a tensão de cisalhamento máxima τ m á x nessa seção e o valor do salto de tensão na junção aba-alma na fibra B , que completam a nossa resposta para o exercício:

Resposta

τ m á x = 3,99   M P a

&

Salto = 3,98 - 1,33 = 2,65   M P a

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