Exercícios Resolvidos de Função Corrente e Função Potencial

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Enunciado

Um campo de escoamento incompressível bidimensional é definido pelos componentes de velocidade

u = 2 V x L - y L

v = - 2 V y L

em que V e L são constantes. Se elas existem, encontre a função corrente e o potencial de velocidade.

Passo 1

Para verificar se existe a função corrente, devemos ver se o escoamento atende a equação da continuidade, ou seja, se:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Para ver se existe o potencial de velocidade, devemos ver se o escoamento é irrotacional, ou seja, se:

∇ × V → = 0 →

Passo 2

Comecemos com a função corrente. Temos que

∂ u ∂ x = 2 V L ,           ∂ v ∂ y = - 2 V L

Assim, a equação da continuidade é satisfeita, pois

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 2 V L - 2 V L = 0

Então a função corrente existe e vamos seguir o passo a passo para descobri-la.

Passo 3

Vamos escolher a primeira equação para integrar. Temos, então

u = ∂ ψ ∂ y → ∂ ψ ∂ y = 2 V x L - y L ∴ ψ x , y = 2 V x y L - y 2 2 L + f ( x )

Passo 4

Agora devemos derivar o obtido no passo acima com relação a outra variável, ou seja, x :

∂ ψ ∂ x = ∂ ∂ x 2 V x y L - y 2 2 L + f ( x )

∂ ψ ∂ x = 2 V y L + f ' ( x )

Passo 5

Pela definição de função corrente, temos que:

v = - ∂ ψ ∂ x

E, pelo enunciado:

v = - 2 V y L

Então:

∂ ψ ∂ x = 2 V y L + f ' x = 2 V y L

∴ f ' x = 0

Passo 6

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = 2 V L x y - y 2 2

Passo 7

Agora, vamos ver se o potencial existe, ou seja, ver se o escoamento é irrotacional. Em vez de usar a notação com matriz, sempre que tivermos um campo com duas componentes, podemos usar essa notação simplificada para o rotacional:

∇ × V → = ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y k ^

Fazendo nossas continhas, temos que

∇ × V → = 2 V L k ^ ≠ 0

Assim, não há potencial para a velocidade!

Resposta

x , y = 2 V L x y - y 2 2

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