Exercícios Resolvidos de Função Corrente e Função Potencial

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Enunciado

Um escoamento incompressível bidimensional é dado pelo campo de velocidade V = 3 y i + 2 x j , em unidades arbitrárias. Esse escoamento satisfaz a continuidade? Em caso afirmativo, encontre a função corrente ψ   ( x ,   y ) e faça um gráfico de algumas linhas de corrente, com setas.

Passo 1

Como ele já nos deu o campo de velocidades, a gente tem que

u = 3 y ,           v = 2 x

Passo 2

Para ver se esse escoamento satisfaz a equação da continuidade, devemos ver se u , v satisfazem a seguinte equação

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 3

Pelas expressões do passo 1, temos que

∂ u ∂ x = 0 ,         ∂ v ∂ y = 0

Então temos que

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 + 0 = 0

Logo o escoamento satisfaz a equação da continuidade

Passo 4

A definição da função corrente é

u = ∂ ψ ∂ y ,         v = - ∂ ψ ∂ x

Então temos que seguir o passo a passo abaixo

Passo 5

Escolha uma das duas equações para integrar

Por conveniência, vou integrar a equação do u , ou seja

∂ ψ ∂ y = 3 y → ψ x , y = 3 2 y 2 + f ( x )

Essa função f ( x ) surgiu porque qualquer coisa que dependesse só de x foi tratada como constante ao fazer a derivada parcial com respeito a y .

Passo 6

Derivamos a expressão obtida no passo anterior com relação a outra variável, ou seja, devemos calcular:

∂ ψ ∂ x

Fazendo as continhas, temos

∂ ψ ∂ x = f ' ( x )

Passo 7

Pela definição da função corrente, temos que

v = - ∂ ψ ∂ x → 2 x = - f ' ( x )

Integrando a equação acima, temos

f x = - x 2

Passo 8

Assim, juntando tudo temos que

ψ x , y = 3 2 y 2 - x 2

Passo 9

Colocando os valores de ψ = 0 , ± 1 , ± 2 , temos hipérboles como na figura abaixo!

Resposta

Satisfaz a equação da continuidade!

ψ x , y = 3 2 y 2 - x 2

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