Exercícios Resolvidos de Função Corrente e Função Potencial

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um líquido é drenado por um pequeno furo em um tanque, como mostra a Figura, de forma que o campo de velocidade é dado por v r ≈ 0 , v z ≈ 0 , v θ = K R 2 / r , em que z = H é a profundidade da água distante do furo. Esse padrão de escoamento é rotacional ou irrotacional? Encontre a profundidade z c da água no raio r = R .

Passo 1

Primeiro temos que ver se o escoamento é irrotacional. Vou te dar outra expressão que vai facilitar a sua vida quando tiver trabalhando com coordenadas polares! Para ver se um escoamento em coordenadas polares é irrotacional, a gente tem que verificar essa equação:

1 r ∂ ∂ r r v θ - 1 r ∂ ∂ θ v θ = 0

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Passo 2

Pelo enunciado a gente sabe que

v θ = K R 2 r → r v θ = K R 2

Como r v θ é uma constante, o primeiro termo da equação do passo 1 é zero. Como v θ não depende de r o segundo termo da equação também é zero, logo o escoamento é irrotacional.

Passo 3

Cara, quando a gente vê esses exercícios com altura e pressão a gente fica com uma vontade de tacar Bernoulli né não?

Então, a gente tem que tomar cuidado, porque a gente só pode fazer isso com uma série de hipóteses sendo satisfeitas e numa mesma linha de corrente.

Sabe uma parte ótima dos escoamentos irrotacionais? A equação de Bernoulli é válida sempre nesses escoamentos!

Show, então podemos escrever o seguinte:

p a t m + 1 2 ρ V r = ∞ 2 + ρ g H = p a t m + 1 2 ρ V r = R 2 + ρ g z 0

Passo 4

Agora, precisamos entender que são alguns desses termos aí! Pô, a única componente do vetor velocidade que não é nula é v θ , então o módulo da velocidade V é igual a essa componente. Assim,

V r = R = v θ R = w R

Fazendo o limite quando r → ∞ a gente acha o termo V r = ∞ que é

V r = ∞ = 0

Passo 5

Substituindo esses valores na equação de Bernoulli, a gente acha que

z 0 = H - w 2 R 2 2 g

Resposta

O escoamento é irrotacional

z 0 = H - w 2 R 2 2 g

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