Exercícios Resolvidos de Função Corrente e Função Potencial

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Enunciado

Encontre o potencial de velocidade bidimensional ϕ ( r ,   θ ) para o padrão de escoamento em coordenadas polares v r = Q / r , v θ = K / r , em que Q e K são constantes.

Passo 1

Cara, vou te contar um segredo que você tem que guardar no seu coração: em coordenadas polares a expressão da função potencial fica assim:

v r = ∂ ϕ ∂ r   ,           v θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ

Ou seja, nesse exercício a gente precisa achar a bendita ϕ ( r , θ ) que satisfaz essas igualdades.

Passo 2

Vou começar olhando para v r (você poderia ter começado por v θ se preferir):

v r = Q r = ∂ ϕ ∂ r   → ϕ r , θ = Q ln ⁡ r + f ( θ )

Passo 3

Agora a gente tem que achar quem é essa tal de f ( θ ) . Para isso, usamos a outra equação, ou seja

v θ = 1 r   f ' θ → 1 r   f ' θ = K r → f ' θ = K ∴ f θ = K θ

Passo 4

Agora é só juntar tudinho e vamos ficar com

ϕ r , θ = Q ln ⁡ r + K θ

Resposta

ϕ r , θ = Q ln ⁡ r + K θ

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