Exercícios Resolvidos de Função Corrente e Função Potencial

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Enunciado

Para a distribuição de velocidades a seguir, determine se existe uma função corrente e, se existir, encontre uma expressão para ψ ( x ,   y ) e faça o esboço da linha de corrente que passa pelo ponto x ,   y = L 2 , L 2 .

u =   U 0 1 + x L             v =   - U 0 y L               w = 0      

Passo 1

A função corrente é definida em coordenadas cartesianas como:

u = ∂ ψ ∂ y ,         v = - ∂ ψ ∂ x

Devemos aplicar o passo a passo

Passo 2

Seguindo o passo a passo, devemos escolher uma das duas equações do passo 1 para integrar. Vamos escolher a segunda:

v = - ∂ ψ ∂ x → U 0 y L = ∂ ψ ∂ x ∴ ψ x , y = U 0 y x L + f ( y )

Passo 3

Agora, derivamos a expressão obtida no passo anterior com relação a outra variável que aqui é y , ou seja, calculamos

∂ ψ ∂ y

Calculando, temos

∂ ψ ∂ y = U 0 x L + f ' ( y )

Passo 4

Usando a definição de função corrente, temos

u = ∂ ψ ∂ y → U 0 1 + x L = U 0 x L + f ' ( y ) ∴ f y = U 0 y

Passo 5

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = U 0 x y L + U 0 y

Passo 6

Substituindo o ponto ( L / 2 , L / 2 ) na equação acima, temos que

ψ L 2 , L 2 = U 0 L 4 + U 0 L 2 = 3 U 0 L 4

Assim, devemos plotar a seguinte curva

U 0 x y L + U 0 y = 3 U 0 L 4

O que gera a imagem abaixo

Resposta

ψ x , y = U 0 x y L + U 0 y

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