Exercícios Resolvidos de Função Corrente e Função Potencial

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Enunciado

Considere o potencial de velocidade incompressível bidimensional ϕ = x y +   x 2 -   y 2 . ( a ) É verdade que ∇ 2 ϕ = 0 , e, em caso afirmativo, o que isso significa? ( b ) Se ela existe, encontre a função corrente ψ ( x ,   y ) desse escoamento. ( c ) Encontre a equação da linha de corrente que passa por x ,   y = 2 ,   1 .

Passo 1

a) O Laplaciano, ∇ 2 , é definido da seguinte forma

∇ 2 ϕ = ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2

Então, devemos calcular essas derivadas e ver se isso dá zero.

Passo 2

Calculando, temos

∂ 2 ϕ ∂ x 2 = 2

∂ 2 ϕ ∂ y 2 = - 2

Assim o Laplaciano é

∇ 2 ϕ = ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 = 2 - 2 = 0

Passo 3

A equação da continuidade incompressível, escrita numa notação vetorial, é dada por

∇ ⋅ V → = 0

A definição do potencial de velocidade é

V → = ∇ ϕ

Colocando uma equação dentro da outra e lembrando que ∇ ⋅ ∇ ϕ = ∇ 2 ϕ , temos

∇ ⋅ V → = 0 →   ∇ 2 ϕ = 0

Ou seja, sempre que o Laplaciano é zero a equação da continuidade incompressível é satisfeita.

Passo 4

b) Para determinar a função corrente, devemos descobrir as componentes do vetor velocidade. Para isso usamos a definição de potencial de velocidade, ou seja

u = ∂ ϕ ∂ x ,         v = ∂ ϕ ∂ y

Depois, aplicamos o passo a passo que vimos nos outros exercícios.

Passo 5

Derivando a expressão de ϕ , temos que

u = y + 2 x

v = x - 2 y

Agora vamos integrar a seguinte equação

u = ∂ ψ ∂ y → ∂ ψ ∂ y = y + 2 x ∴ ψ x , y = y 2 2 + 2 x y + f ( x )

Passo 6

Derivando a expressão do passo anterior com relação a x , temos

∂ ψ ∂ x = 2 y + f ' ( x )

Pela definição da função corrente, temos

v = - ∂ ψ ∂ x → x - 2 y = - 2 y - f ' x ∴ f x = - x 2 2

Passo 7

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = 1 2 y 2 - x 2 + 2 x y

Passo 8

c)Substituindo o ponto ( 2,1 ) na função obtida acima, temos que

ψ 2,1 = 5 2

Assim, a curva que passa pelo ponto é

1 2 y 2 - x 2 + 2 x y = 5 2

Resposta

b )   ψ x , y = 1 2 y 2 - x 2 + 2 x y

c )   1 2 y 2 - x 2 + 2 x y = 5 2

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