Exercícios Resolvidos de Função Corrente e Função Potencial

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Mostre que o escoamento de Couette linear entre placas na Figura tem uma função corrente, mas não tem potencial de velocidade. Qual é a razão disso?

Passo 1

A primeira coisa que temos que achar são as componentes do vetor velocidade. A componente v é simples de achar, porque o próprio desenho nos mostra

v = 0

A componente u varia linearmente, lá no gráfico o perfil é uma reta, de 0 na posição y = 0 até V na posição y = h , então pela equação da reta a gente tem que

u = V y h

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Passo 2

Para saber se existe função corrente, temos que ver se a equação da continuidade é satisfeita, então vamos lá

∂ u ∂ x = 0 ,       ∂ v ∂ y = 0

Então ,temos que

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Logo, o escoamento satisfaz a equação da continuidade e a função corrente existe.

Passo 3

Para descobrir qual é a função corrente a gente segue o mesmo passo a passo, vamos integrar a expressão de u primeiro:

u = V y h = ∂ ψ ∂ y → ψ x , y = V y 2 2 h + f ( x )

Derivando com relação a x a expressão de ψ ( x , y ) que a gente acabou de achar, temos

∂ ψ ∂ x = f ' ( x )

Comparando com a componente v , temos

f ' x = 0

Logo, a função corrente é da forma

ψ x , y = V y 2 2 h

Passo 4

Para verificar se a função potencial existe, devemos ver se o escoamento é irrotacional. Como o escoamento tem apenas duas componentes de velocidade a gente tem que verificar essa igualdade aqui:

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0

Passo 5

Fazendo as contas a gente tem que

∂ v ∂ x = 0 ,       ∂ u ∂ y = V h

Assim, a gente tem que

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = - V h ≠ 0

Logo o escoamento é rotacional e não admite função potencial!

Resposta

ψ x , y = V y 2 2 h

Não existe função potencial!

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