Exercícios Resolvidos de Função Corrente e Função Potencial

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Enunciado

Uma função corrente para um escoamento plano, irrotacional em coordenadas polares é:

ψ = C θ - K ln ⁡ r

Onde C , K são constantes. Encontre o potencial de velocidade para esse escoamento.

Passo 1

Essa daqui vai misturar os conceitos todos, então temos que acompanhar com bastante atenção! Como ele disse que o escoamento é irrotacional, a gente sabe que o potencial existe! Mas, para encontrar sua carinha a gente precisa das componentes da velocidade então é isso que vamos fazer primeiro, usando as equações

v r = 1 r ∂ ψ ∂ θ ,         v θ = - ∂ ψ ∂ r

Essas são as equações da função corrente em coordenadas polares!

Passo 2

A gente tem que

∂ ψ ∂ θ = C ,       ∂ ψ ∂ r = - K r

Então, pelas equações do passo 1, temos que

v r = C r ,         v θ = K r

Passo 3

Com as componentes em mãos, podemos calcular o potencial com essas equações

v r = ∂ ϕ ∂ r ,         v θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ

Passo 4

Vou começar analisando a primeira equação:

v r = ∂ ϕ ∂ r → C r = ∂ ϕ ∂ r

Integrando dos dois lados com relação a r a gente tem que

ϕ r , θ = C ln ⁡ r + f θ

Passo 5

Agora derivando essa expressão de ϕ ( r , θ ) que acabamos de achar com relação a θ , temos que

∂ ϕ ∂ θ = f ' ( θ )

Pela expressão de v θ , temos que

v θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ → K r = 1 r f ' θ → f ' θ = K

Integrando a última equação, temos que

f θ = K θ

Passo 6

Juntando tudo, a gente fica com

ϕ r , θ = C ln ⁡ r + K θ

Resposta

ϕ r , θ = C ln ⁡ r + K θ

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